第八章方阵问题
时间：2020-08-25 08:13:20 来源：天一资源网 本文已影响 人 
第八章
方阵问题
一、 知识要点及基本方法
方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。特点是：方阵每边的实物数量相等，同边上相邻两层的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。
数量关系：
（1）方阵每边人数和四周人数的关系：
（每边人数-1）×4=四周人数
四周人数÷4+1=每边人数
（2）方阵总人数的计算方法：
实心方阵：每边人数×每边人数=总人数
空心方阵：外边人数×外边人数-内边人数×内边人数=总人数
若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：
（外边人数-层数）×层数×4=总人数
二、例题精讲
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共需要多少名同学？
解题分析 这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？
解：8×8=64（人）
答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？
解题分析 依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？
6×6=36（只）
（2）最外层有多少只棋子？
（6-1）×4=20（只）
答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
例3 一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？
解题分析 排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的总数，然后减去去掉的棋子数，就是剩下的棋子数。
解：（1）去掉多少只棋子？
8×2-1=15（只）
（2）还剩多少只棋子？
8×8-15=49（只）
答：要去掉15只棋子，还剩下49只棋子。
例4 育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？
解题分析 排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。
解：（1）原来方阵中每排有多少人？
（5+26-1）÷2=15（人）
（2）四年级共有多少人？
15×15+5=230（人）
答：育英小学四年级有230人。
例5 同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？
解题分析 要求出这个方阵有多少人，就要先示出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）×2人，即10人。又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）×层数×4，即可求出这个方阵共有多少人。
解：[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人）
答：这个方阵共有84人。
例6 某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人。这个小学四年级的学生一共有多少人？
解题分析 排成四层空心方阵多15人，在方阵的空心部分增加一层21人，说明增加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是（15+21）人，根据每相邻两层的人数相差8人，可分别求出每层人数，然后霜加，再加上多的15人，就可求出四年级的总人数。
解：（1）从外向内第五层有多少人？
15+21=36（人）
（2）从外向内第四层有多少人？
36+8=44（人）
（3）从外向内第三层有多少人？
44+8=52（人）
（4）从外向内第二层有多少人？
52+8=60（人）
（5）最外层有多少人？
60+8=68（人）
（6）四年级一共有多少人？
44+52+60+68+15=239（人）
答：四年级的学生一共有239人。
练习题
1． 同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？ 9×9=81（人）
2． 同学们排队站成一个实心方阵，排成11行11列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？11×2-1=21（人）
3． 同学们排队站成一个方阵，一共站7行7列，如果要增加一行一列，需要增加多少人？（7+1）×2-1=15（人）
4． 有72人排成一个三层的空心方阵，示最外层每边有多少人？
外层：（72+8×3）÷3=32（人）外层每边32÷4+1=9（人）
5． 设计一个团体操表演队形，想排成一个6层的中空方阵，已知参加表演的人数只有360人，问最外每边应排多少人？
[360+8×（1+2+3+4+5）]÷6÷4+1=21（人）
6． 一个正方形队列，横竖方向各减少一行，那么就减少13人，这个正方形队列原来有多少人？[（13+1）÷2]×[（13+1）÷2]=49
7． 有64名少先队员排成一个每边两层的中空方阵，现要在外面增加一层，成为一个三层中空方阵，需要增加少先队员多少人？
（64÷4÷2+2+2-1）×4=44（人）
8． 一个空心方阵的花坛共有12层花草，其中最内层每边有18盆，这个花坛共有花草多少盆？18+（12-1）×2=40（盆）（40-12）×12×4=1344（盆）
9． 四年级同学参加体操表演，先排成每边16人的实心方阵队形，后来又变成一个四层空心方阵，这个中空方阵最外层有多少人？16×16÷4÷4+4=20（人）（20-1）×4=76（人）
10． 一队战士排成三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又差28人。这队战士共有多少人？如果排成一个实心方阵，每边多少人？18×18-12×12+16=196（人）196=14×14
11． 有16个学生站在一块正方形场地的四周，四个角上各站1人。如果站的人数相等，那么，每边站了多少个学生？（16-4）÷4+2=5（个）
12． 一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？80+80+8+80+8×2=264（人）
小石头求积记
小石头来到数学王国，想算算自己的体积。国王了解了小石头的来意后，把它介绍给了体积大臣。
体积大臣朝小石头上下打量了一番，只见它圆不圆，方不方，遍体是棱，满身是角，沉思了半天，与小石头商量说：“我看你还是先到石匠师傅那里去一趟，加工成长方体也好，正方体也行，或者是圆柱体、圆锥体，这样，我们就可以按照体积计算公式算出你的体积来了。”小石头听了，不好意思地说：“不瞒你说，我刚从石匠师傅那里来，师傅说我是一块稀有金属矿石，浑身都是宝，一加工，势必要造成损失。我今天来请教大臣，就我这个圆不圆、方不方的不规则模样，能不能帮我计算一下体积呢？”
体积大臣对小石头的这番请求感到有些为难，于是只好去向数学王子请教。数学王子毕竟年轻有为，脑子灵活，见到小石头这副模样，立即想起了古希腊数学家阿基米德用水测试皇冠含金量的故事，就把小石头领进了圆柱体室。只见数学王子先在一只圆柱体玻璃筒里倒进适量的水，量一量水的高度，划上标记；接着把小石头放进这只盛水的玻璃筒里，水的高度随即上升。数学王子让体积大臣算出了上升部分的水圆柱体的体积。然后告诉小石头说：“这一部分上升的水的圆柱体的体积就是你小石头的体积。”
小石头得到了满意的答复，高高兴兴地谢别了数学王子。
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