国外小学数学教学改革的趋势
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一 小学数学教学改革的起因和发展概况
近二十多年来，国外小学数学教学改革是整个数学教育现代化运动的一个组成部分。第二次世界大战以前，中小学数学课程教材是比较稳定的，基本上没有变化。第二次世界大战以后，由于数学本身有了很大发展，科学技术也飞速发展，数学的应用日益广泛，特别是电子计算机的出现，促使各学科广泛地应用着数学方法，从而对参加生产和各种工作人员的数学水平，提出较高的要求，并且由于知识的不断更新，要求具有独立获取新知识的能力。而当时，学生的数学水平低下，社会上对数学教育提出了批评。因此，传统的中小学课程、教材、教法越来越不适应这种形势的变化，迫切需要进行改革。在四十年代末、五十年代初，有些国家已经出现了改革的方案和小规模的试验。如1951年美国伊利诺大学成立学校数学委员会，开始研究中学数学改革问题，编写九至十二年级教材。1956年英国就有人提出小学数学教学的目标应是给儿童打好有关数量和空间方面的数学思维的基础。1957年苏联发射了人造卫星，出于国际竞争的需要，促使美国加速改革数学教育。1958年由美国政府资助成立了“学校数学研究组”（简称SMSG），着手编写中小学试验教材。1958年，伊利诺大学也拟出了算术方案，其中已涉及到解方程和不等式以及函数、运算定律等问题。六十年代初开始较大规模的数学教育现代化运动。1962年编出SMSG中小学数学课本。1963年，美国坎布里奇会议上提出，从幼儿园起到中学最后一年的数学课程要达到当时大学三年级水平。以后出现更多的改革方案，编出了各种各样的小学数学教材。1964年英国也有人提出改革小学数学课程，使之现代化。以后编出NMP、SMP等小学数学课本。1967年苏联分别公布了一至三年级（小学）和四至十年级改革的数学教学大纲，并从1969年起在小学一年级换用新教材。1968年日本公布了用现代数学观点修订的小学算术学习指导要领，并从1971年开始施行。1970年法国也公布了改革的小学数学教学大纲。与此同时，欧洲其他一些国家也进行改革。以后，小学数学教学改革又扩展到第三世界国家。1978年在苏丹还专门召开了第三世界国家数学发展国际讨论会，研究小学数学教学的目标、内容等问题。
小学数学教材改革有以下几个主要特点。
（一）改革传统的算术、代数、几何分科的办法，精简传统的算术内容，把原来中学的一些代数、几何知识下放到小学。很多国家删去较复杂的整数、小数、分数四则计算。如整数乘、除法一般只学到乘、除数是三位数的；分数的分母一般不超过10；有些国家（如美、苏、法）只讲正比例，日本只讲正、反比例概念，并简化了四则混合运算。与此同时，增加了一些代数、几何的内容。比较普遍地引入用字母表示数，简易方程和列方程解应用题，以及简单的正负数四则运算。苏联五年级结束算术课程并学完一元一次方程。美国小学还讲了简易不等式、指数、幂、平方根、等差数列等。很多国家还增加了几何形体的认识和一些图形的性质。如美、日、苏等国都讲了图形的全等和相似、轴对称和中心对称、平移和直角坐标等，并增加了简单的尺规作图。美、日等国还讲了菱形、正多边形以及棱柱、棱锥等的认识，并求它们的表面积。美国还讲了弧、弦、椭圆等，日本还直观地介绍了空间的直线、平面的平行和垂直等。
（二）增加或渗透集合、函数、统计等现代数学内容。多数国家从小学一年级起就结合认数和计算出现韦恩图，美、法、联邦德国等国还出现了集合、子集等名称；联邦德国在二年级就介绍了表示“集合”、“属于”等的符号，美、苏、日等国则分别在三、四、六年级出现这样的符号。
许多国家通过各种直观形式引入函数、关系、映射等思想。如英法等国在低年级讲加减法时出现等形式。苏联在二年级通过求x+2的值等，逐步给学生变量思想；四年级给出变量的概念。美、日等国还结合比例等问题出现简单的函数图象。
较多的国家结合日常生活或游戏介绍概率、统计的初步知识。如美、日、英、法等国都讲了通过试验求概率。如盒里放0，1，2，……，9的数字卡片，摇匀后每次抽一张，求抽出质数的概率。美、英等国还讲了用分数乘法计算概率。日、美等国从低年级起就出现简单的统计图表，到高年级还分别介绍了收集资料、数据处理、作频率分布表和求平均数、中数、众数等。
还有一些国家结合认数和计算介绍与电子计算机有关的基础知识，如二、三、四、五进位制及其简单加减法，简单的流程图，简单的逻辑语句等。
（三）用结构的思想处理传统的数学内容，强调用现代数学的基础概念（如集合、运算、关系和映射等）把小学数学的内容组成统一的整体。如美国的一套小学数学课本在序言中明确指出：“强调概念、结构、精确语言和演绎方法”。美、法等国的课本都用集合的观点来讲传统的算术、几何概念。如英国小学数学第二册讲：“没有对应起来的数目是差”。法国小学数学课本中讲：“两条带子的交是一个点的集合，叫做平行四边形”。美、苏、法、英、联邦德国等国在开始讲加法、乘法时就通过直观引入一些运算性质，以后学计算方法时都用运算性质推导。例如，9+2=9+（1+ 1）=（9+1）+1=10+1=11；23×4=（20+3）×4=20×4+3×4=80+12=92。
（四）强调使学生掌握常用的数学术语和符号。苏联小学数学教学大纲中指出：“应该使儿童简单而又自然地掌握数学术语”，并在一年级课本的开头就出现“加数”，“和”等术语以及“＞”“＜”等符号。日本小学算术学习指导要领中还明确规定了各年级学生要掌握的术语和符号。
在增加了教学内容，强调发展学生思维，培养独立获取知识的能力之后，如果仍用传统的教学方法，把学生当作容器，采取注入式，单纯地传授知识，多次的重复，显然不能适应新的要求。因此有些心理学家、教育家纷纷提出要改革教学方法。如皮亚杰提出，“要制定现代的教学方法来教现代数学”，布鲁纳认为，“选择一定的教法，有可能把自然科学和数学的基本概念教给比传统年龄轻得多的儿童”。布鲁纳倡导采用发现法，强调“教数学……要让学生自行思考数学，参与到掌握知识的过程中去。”他还同数学家狄因斯一起亲自试验。赞可夫也指出，既然教学大纲补充了新的内容，当然以前没有采用过的教学方式的出现是不可避免的。他强调要“让学生自己去寻求问题的正确解答”。他领导的试验既改革了教材也改革了教法。例如，注意激发学生独立地探索；让学生进行有目的的观察，发现所学教材的各部分之间的内在联系；提出一系列问题，让学生思考解答途径；注意教学方式的多样化；加强实际操作等。
二 关于小学数学教学改革成败问题的争论
早在数学教育现代化运动初期，就有人提出反对意见。美国应用数学家克莱因在1962年就批评新数学只重视数学的内容，而忽视数学的方法；教学的对象只是少数学生，培养尖子；急于搞抽象化，强调演绎推理等。七十年代，各国小学数学教材改革经过了一段时间的试验，逐渐暴露出一些问题。主要是教师难教，学生难学，负担重，成绩下降。典型的例子如：小学生懂得6×7=7×6，却不知道积是42。教师、家长以及社会各界纷纷对新数学提出批评或反对的意见。1973年克莱因又写了一篇题为《庄尼为什么不会加？》的小册子，指责新数学是失败的。归纳各方面的主要意见是：第一，只考虑数学本身的发展和需要，片面强调纯理论的抽象的概念，忽视社会的实际应用；第二，强调理解，忽视基本技能的训练；第三，只适用一般水平以上的学生，培养少数有才能的尖子，忽视面向全体学生。随后在美国以及其他一些国家掀起一场“回到基础”运动，要求取消新数学，主张小学数学要着重基本计算技能的训练。但是也有反对的意见。1975年美国数学教育全国咨询委员会在一篇题为《对数学教育总的看法和分析》的报告中指出，数学成绩下降是否大部分归咎于“新数学”值得怀疑，因为改革运动的建议只有很少一部分在课堂上实行，而且也没有充分重视教师培训。1977年美国《洛杉矶时报》发表一篇文章也谈到“尽管新数学遭到批评，但是很少有人认为它完全失败。目前的课本又将重点放在基本技巧上，但仍旧含有新数学中介绍的许多概念。”1980年1月召开的关于数学课程变化的国际会议所发表的综合报告中也指出，要预测二十年来数学教育改革的永久效果还为时过早。美国全国数学教师协会的八十年代《行动计划》中，批评了“回到基础”运动，认为想把数学能力放在低水平上，不能适应新的变化的需要。在苏联争论也很厉害，有些数学家提出用集合论解释数学概念没有必要。指出这样把教材人为地复杂化，使学生对知识只是形式主义的理解，小学一年级学习用方程解应用题也是形式地接受。但是也有人认为，四五年级引入集合，带变量的命题和语句，仅仅是使数学教学的某些语言标准化、明确化。也有一些教师反对走回头路。近几年，争论虽基本平息，但并没有取得完全一致的看法。1982年美国有一篇文章说：“过去两三年虽然有达到均势的趋向，但这并不意味着达到观点一致。”
三 小学数学教学改革的趋势
为了克服新数学所出现的一些缺点，七十年代末至八十年代初，许多国家相继在总结经验的基础上修订了小学数学教学大纲和课本。如法国于1977年修订公布小学预备课程（即一年级）数学教学大纲，以后陆续修订公布其他年级的。日本于1977年公布了修订的小学算数学习指导要领。1978年起苏联教育部陆续修改了小学数学教学大纲，并于1981年公布了草案。同年苏联教育部公布了1981～1982年度中小学数学教学纲目，1982年又公布了1982—1983年度中小学数学教学大纲，对大纲内容作了进一步修改。随后又陆续修改了课本。美国没有统一的教学大纲，但是美国全国数学教师协会拟出的八十年代《行动计划》，反映了近几年数学教学改革的趋向。另外，近几年也出版了一些新课本，同七十年代的课本比较，也有一些修改。其他国家（包括一些第三世界国家）对课本也做了修改。
近年来，小学数学教材改革的趋势主要有以下几点：
（一）强调使小学生掌握必要的数学基础知识和基本技能，为进一步学习打好基础。这一要求主要是针对过去小学数学教材改革过分强调数学教育现代化，重视抽象数学概念，忽视必要的传统的数学基础知识，和削弱了计算能力的培养而提出来的。1978年联合国教科文组织出版的《数学教育新趋势》中就曾指出，“小学阶段算术仍是数学教学的中心科目”。法国修改的课本中明确指出，数的读写和运算是“大纲的核心的基本知识”，并加强了算术基础知识和四则计算的基本训练，不仅增加了练习题，计算的数目也适当加大。日本学校课程审议会向文部省报告中提出修订算数科的基本方针时强调“要重视切实学会基础知识，熟练掌握基本技能。”在修订的算数学习指导要领中，简化教学目标，突出使学生掌握有关数量和图形的基础知识和技能，还增加低年级的教学时间，加强20以内加减法和乘法表的练习。苏联在修订小学数学教学大纲时，也特别强调“算术是初等数学课程的基础”，重视给儿童进一步掌握数学知识、技能和技巧建立足够的巩固的基础，并且规定了各年级的基本教学要求；四五年级强调，首先是对小学学过的数学知识进行概括和发展，使学生掌握自然数和整数、分数和小数的计算技巧，其次是学习代数和几何的极其初步的知识。自然数运算、正负数运算、有理数运算等，都单列一章，不与数概念混在一起。美国全国数学教师协会也强调培养学生基本技能，但是认为应反映新的变化着的需要，因此应当包括比计算技能更多的东西，如解问题的能力，对结果的合理性的觉察力，估算和求近似数，度量的技能，阅读、解释和制作图表的技能等。
（二）删减一些不十分必要的和小学生难接受的内容，切实减轻学生负担。日本修改小学算数学习指导要领时，删去了等式的性质、验证运算定律的成立、旋转体的概念、柱体的体积、计算概率、负数等。苏联修改小学数学教学大纲时，强调把减轻负担作为改进一至三年级教学工作的主要方针；不再强调三年学完过去小学四年的内容，只学完乘数、除数是两位数的乘、除法，不出现用两步运算来解的方程，相应地也删去用方程解两步以上的应用题，也不再要求在不带方格的纸上画直角和长方形。四、五年级删去集合的符号和一些几何作图等。美国的小学数学课本也删减一些从中学下放到小学的内容，如直角坐标、椭圆、柱体和锥体等。
（三）在安排上更注意适合儿童的年龄特点和接受能力。这是针对过去过多强调儿童的早期学习和提倡高速度、高难度，致使许多比较抽象的和难理解的内容过早出现而造成困难这一缺点而提出的。例如，在日本，小学算
体积的概念、全等图形等从四年级移到五年级，对称、图形的包含关系以及频率分布等从五年级移到六年级。苏联在修改大纲时也作了不少调整，主要的有：两位数进位加法和退位减法、两步应用题、用字母表示数、解最简单的方程和列方程解应用题，从一年级移到二年级；多边形周长的概念、几分之一大小的比较等后移；乘数、除数是三位数的乘、除法，从三年级移到四年级；原来二、三、四年级含有两步和两步以上运算的方程以及相应的列方程解应用
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题，适当后移。美国有些新出版的课本也作了一些调整，如一年级不再出三位数和简单的三位数加法，几何初步知识有些后移，原四年级讲的公倍数、公因数、质数和异分母分数加减法，移到五年级。
（四）继续保留数学教育现代化运动中某些带方向性的有益的处理方法，更注意适应小学生的特点。七十年代以来，尽管反对新数学的呼声很高，但是多数国家修订教材时继续保留某些带方向性的有益的做法，只是根据小学生的特点，采取更直观易懂的形式，更多地结合传统的算术内容以渗透的方式来处理。例如，日本文部省在关于修订小学算数学习指导要领的说明时指出，基本维持现代化思考方法；强调用集合的思考方法来教数量和图形等内容，可以更明确理解所学内容的意义；并认为逐渐培养用集合观念的思考方法很有必要。但是也指出，集合本身不是教学内容。日本新编的小学一年级数学课本，仍结合认数和计算出现韦恩图。数量关系的教学改从三年级起，仍包含函数、式子表示、统计资料等内容，只是不再划分为三个部分。法国小学数学保持现代化的方向更为明显。小学一年级仍出现韦恩图，但不再出集合的名称和符号。讲算术知识继续渗透集合、函数思想，但不再
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