[实验四IIR数字滤波器设计实验报告] fir滤波器设计方法

HUNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

　数字信号处理

　实验报告

　实验四IIR数字滤波器的设计

　学

　生

　姓

　名

　张 志 翔

　班

　级

　电子信息工程1203班

　学

　号

　12401720522

　指

　导

　教

　师

　2015429

　实验四IIR数字滤波器的设计

　一、 实验目的：

　掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计 IIR数字滤波器的具体 设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、 高通和带通IIR数字滤波器的MATLA编程。

　观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了

　解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。

　熟悉Butterworth滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的频率 特性。

　二、 实验原理：

　1 .脉冲响应不变法 用数字滤波器的单位脉冲响应序列 模仿模拟滤波器的冲激响应，让 正好等于 的采样值，即，其中 为采样间隔，如果以 及 分别表示 的 拉式变换及的Z变换，则

　1 2

　H(z)zesT 〒 Ha(s j—m)

　I m I

　2.双线性变换法

　S 平面与z平面之间满足以下映射关系:

　1 Is

　1 Ts

　1 Ts

　(s

　j；z rej )

　s平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完

　全映射到z平面的单位圆内 双线性变换不存在混叠问题。

　双线性变换是一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变

　双线性变换是一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变

　可通过预畸而得到校正

　三、实验内容及步骤：

　实验中有关变量的定义：

　fc通带边界频率；fr 阻带边界频率；3 通带波动；At最小阻

　带衰减；fs采样频率；T采样周期

　=0.3KHz, S =0.8Db, =0.2KHz, At =20Db,T=1ms;

　设计一个切比雪夫高通滤波器，观察其通带损耗和阻带衰减是否满足 要求。

　MATLA源程序：

　wp=2*1000*ta n(2*pi*300/(2*1000));

　ws=2*1000*ta n(2*pi*200/(2*1000));

　[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,0.8,20,'s'); %给定通带(wp)和阻带(ws)

　边界角频率，通带波动波动0.8，阻带最小衰减20dB,求出最低阶数 和通带滤波器的通带边界频率 Wn

　[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');% 给定通带(wp)和阻带(ws)

　边界角频率，通带波动

　[nu m,de n]=bili near(BA 1000);

　[h,w]=freqz (nu m,de n);

　f=w/(2*pi)*1000;

　plot(f,20*log10(abs(h)));

　axis([0,500,-80,10]);

　grid;xlabel(' 频率');ylabel(' 幅度 /dB')

　程序结果

　num = 0.0304 -0.1218

　num = 0.0304 -0.1218

　0.1827 -0.1218

　0.0304

　den = 1 1.3834 1.4721 0.8012 0.2286系统函数：=0.0304 -0.1218Z

　den = 1 1.3834 1.4721 0.8012 0.2286

　系统函数：

　=0.0304 -0.1218Z1 0.1827z2-0.1218z3 0.0304z4

　=1.0000+1.3834z1+1.4721z2+ 0.8012z3+0.2286z4

　幅频响应图:

　Figure 1File Edit View Insert Tools Desktop Window Help□曰￡空| 脅?

　Figure 1

　File Edit View Insert Tools Desktop Window Help

　□曰￡空| 脅?熄貳TD| 口图|?口

　m蚩■￡

　分析：由图可知，切比雪夫滤波器幅频响应是通带波纹，阻带单调衰

　减的。3 =0.8，fr=0.2kHz,At=30Db,满足设计要求

　fc=0.2kHz, S =1dB,fr=0.3kHz,At=25dB,T=1ms;分别用脉冲响 应不变法及双线性变换法设计一 Butterworth数字低通滤波器，观察 所设计数字滤波器的幅频特性曲线， 记录带宽和衰减量，检查是否满 足要求。比较这两种方法的优缺点。

　MATLA源 程序：

　T = 0.001;fs = 1000;fc = 200;fr = 300;

　wp1 = 2*pi*fc;wr1 = 2*pi*fr;

　[N1,w n1] = buttord(wp1,wr1,1,25,'s')

　[B1,A1] = butter(N1,w n1,'s');

　[nu m1,de n1] = imp in var(B1,A1,fs);% 脉冲响应不变法

　[h1,w] = freqz (nu m1,de n1);

　wp2 = 2*fs*ta n(2*pi*fc/(2*fs))

　wr2 = 2*fs*ta n(2*pi*fr/(2*fs))

　[N2,w n2] = buttord(wp2,wr2,1,25,'s')

　[B2,A2] = butter(N2,w n2,'s');

　[nu m2,de n2] = bili near(B2,A2,fs);% 双线性变换法

　[h2,w] = freqz (nu m2,de n2);

　f = w/(2*pi)*fs;

　plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');

　axis([0,500,-100,10]);grid;xlabel('频率 /Hz ');ylabel(' 幅度/dB'）title（' 巴特沃思数字低通滤波器'）;legend（'脉冲相应不变法','双线性变换法',1）;结果分析：脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数：num1 -2.3647 0.0002 0.0153 0.0995 0.1444 0.0611

　axis([0,500,-100,10]);grid;xlabel('

　频率 /Hz ');ylabel(' 幅度

　/dB'）

　title（' 巴特沃思数字低通滤波器'）;

　legend（'脉冲相应不变法','双线性变换法',1）;

　结果分析：

　脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数：

　num1 -2.3647 0.0002 0.0153 0.0995 0.1444 0.0611

　0.0075 0.0002 3.6569 0

　den1 1 -1.9199 2.5324 -2.2053 1.3868 -0.6309

　0.2045 -0.0450 0.0060 -0.0004

　2.36470.0002Z 0.0153Z 0.0995Z 0.1444Z 0.0611Z 0.0075Z 0.0002Z 3.6569Z

　LJ (

　1 1.9199Z 2.5324Z 2.2053Z 1.3869Z 0.6309Z 0.2045Z 0.0450Z 0.0060Z 0.0004Z

　双线性变换法设计的低通滤波器系统函数

　num2

　0.0179 0.1072

　0.2681 0.3575 0.2681

　den2

　0.1072

　0.0179

　-0.6019

　0.9130 -0.2989

　0.1501

　-0.0208

　0.0025

　H(z)0.0179 0.1072Z 10.2681Z 2 0.3575Z 3 0.2681z 4 0.1072z 5 0.0176z 6

　H(z)

　0.0179 0.1072Z 1

　BJ Figure 1100-10-20-30-50-60-70-80■100□回□口□□ P 晅 lgI口厲 P ◎仏 \

　BJ Figure 1

　10

　0

　-10

　-20

　-30

　-50

　-60

　-70

　-80

　■100

　□回□口

　□□ P 晅 lg

　I口厲 P ◎

　仏 \ ? G '

　a

　Win dow

　Fi le Edit View

　: : ——脉冲扁应不变法

　f厂…-1_腑咖賁换法

　分析：脉冲响应不变法的频率变化是线性的， 数字滤波器频谱响应出 现了混叠，影响了过渡带的衰减特性，并且无传输零点；双线性变化 法的频率响应是非线性的，因而消除了频谱混叠，在f=500Hz出有一 个传输零点。

　脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的， w=Q T,?与Q是线性关系：在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模 仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉 冲响应不变法。

　脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带 限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通 ，而高频衰减越大，频 响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不 衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤

　掉高于 的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增

　加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保 持网络瞬态响应时才采用。

　双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，s平面的 虚轴（整个j Q ）对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Q =0处对应于 Z平面的3 =0处，Q二乂处对应于Z平面的3 = n处，即数字滤波器 的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。

　双线性变换缺点：Q与3成非线性关系，导致：

　数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，

　（使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变 ）。

　线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非 线性相位。

　要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的， 故双线性变换只

　能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。

　（3）利用双线性变换法分别设计满足下列指标的 Butterworth 型、

　Chebyshev型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果：

　fc=1.2kHz , 0.5dB ,fr=2kHz , At > 40dB, fs=8kHz，比较这

　种滤波器的阶数。

　MATLA源程序：

　clear all;

　wc=2*pi*1200;wr=2*pi*2000;rp=0.5;rs=40;fs=8000; w1二 2*fs*ta n(wc/(2*fs));

　w2=2*fs*ta n(wr/(2*fs));

　[Nb,w n]二buttord(w1,w2,rp,rs,'s') % 巴特沃思

　[B,A]=butter(Nb,w n,'s');

　[nu m1,de n1]=bili near(B,A,fs);

　[h1,w]=freqz (nu m1,de n1);

　[Nc,w n]=cheb1ord(w1,w2,rp,rs,'s') % 切比雪夫

　[B,A]=cheby1(Nc,rp,w n,'s');

　[nu m2,de n2]=bili near(B,A,fs);

　[h2,w]=freqz( nu m2,de n2);

　[Ne,w n ]=ellipord(w1,w2,rp,rs,'s') % 椭圆型

　[B,A]=ellip(Ne,rp,rs,w n, 'low','s');

　[nu m3,de n3]=bi lin ear(B,A,fs);

　[h3,w]=freqz (nu m3,de n3);

　f=w/(2*pi)*fs;

　plot(f,20*log10(abs(h1)),'-',f,20*log10(abs(h2)),'--',f,20*

　Iog10(abs(h3)),':');

　axis([0,4000,-100,10]);grid;

　xlabel('Frequency in Hz'); ylabel('Gain in dB');

　title(' 三种数字低通滤波器');

　legend('巴特沃思数字低通滤波器','切比雪夫数字低通滤波器 椭圆数字低通滤波器',3);

　巴特沃思数字低通滤波器的系统函数系数:

　num 1= 0.0032 0.01290.0302 0.04530.04530.03020.01290.0032 0.0003den1二

　num 1= 0.0032 0.0129

　0.0302 0.0453

　0.0453

　0.0302

　0.0129

　0.0032 0.0003

　den1二-2.7996 4.4581 -4.5412

　3.2404

　-1.6330

　0.5780

　-0.1370 0.0197 -0.0013

　切比雪夫数字低通滤波器的系统函数系数:

　num2= 0.0026 0.0132 0.0264 0.02640.01320.0026den2= 1 -2.97754.2932 -3.5124

　num2= 0.0026 0.0132 0.0264 0.0264

　0.0132

　0.0026

　den2= 1 -2.9775

　4.2932 -3.5124

　1.6145

　-0.3334

　den3二 1程序结果图:

　den3二 1

　程序结果图:

　0

　-10

　-20

　-30

　-40

　-50

　-60

　-70

　-90

　-90

　 巴侍沃思数字假通滤液器

　——切比霄夫数字低通滤液器

　——椭圆数字低過滤浪器

　-1Q0 「 | |~|

　椭圆数字低通滤波器的系统函数系数:

　num3= 0.03887 0.0363 0.0665 0.0363 0.0389

　-2.1444 2.3658 -1.3250 0.3332

　三种数字低通滤液器

　10

　0 500 1000 1500 200 Q 2500 3000 3500 4000

　Frequency in Hz

　分析：设计结果表明，巴特沃思数字低通滤波器、切比雪夫数字低 通滤波器、椭圆数字低通滤波器的阶数分别是 9、5、4阶。可见，对 于给定的阶数，椭圆数字低通滤波器的阶数最少 （换言之，对于给定 的阶数，过渡带最窄），就这一点来说，他是最优滤波器。由图表明， 巴特沃思数字低通滤波器过渡带最宽，幅频响应单调下降；椭圆数字 低通滤波器过渡带最窄，并具有等波纹的通带和阻带响应； 切比雪夫 数字低通滤波器的过渡带介于两者之间。

　分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一 Butterworth型数 字带通滤波器，已知，其等效的模拟滤波器指标 S <3dB, 2kHzvf

　< 3kHz ; At >5dB , f >6kHz ; At > 20dB , f < 1.5kHz。

　MATLA源程序：

　wp1 = 2*pi*2000;wp2 = 2*pi*3000;

　ws仁 2*pi*1500;ws2= 2*pi*6000;

　[N1,w n1] = buttord([wp1 wp2],[ws1 ws2],3, 20 ,'s');% 求巴特

　沃思滤波器的阶数

　[B1,A1] = butter(N1,w n1,'s');% 给定阶数和边界频率设计滤波器

　[nu m1,de n1] = impi nvar(B1,A1,30000);% 脉冲相应不变法

　[h1,w] = freqz (nu m1,de n1);

　w1=2*30000*ta n( 2*pi*2000/(2*30000));

　w2=2*30000*ta n( 2*pi*3000/(2*30000));

　wr1=2*30000*ta n(2*pi*1500/(2*30000));

　wr2=2*30000*ta n( 2*pi*6000/(2*30000));

　[N,w n]二buttord([w1 w2],[wr1 wr2],3,20,'s');% 求巴特沃思滤波

　器的阶数

　[B,A]=butter(N,w n,'s');

　[nu m,de n]=bili near(B,A,30000);% 双线性变化法

　[h2,w]=freqz (nu m,de n);

　f=w/(2*pi)*30000;

　plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');

　axis([0,15000,-60,10]);

　xlabel('Frequency in Hz'); ylabel('Gain in dB');

　grid;

　title(' 巴特沃思数字带通滤波器');

　legend('脉冲相应不变法','双线性变换法',1);

　脉冲相应不变法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、 分

　母多项式系数：

　num 仁-1.5158 0.0057 -0.0122 0.0025 0.0089 -0.0049

　den 1= 1 -4.8056 10.2376 -12.2625 8.7012 -3.4719

　0.6145

　双线性变换法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、 分母

　多项式的系数：

　num二 0.0014 0 -0.0042 7.1054 0.0042 5.7732 -0.0014

　den二 1 -4.8071 10.2473 -12.2838 8.7245 -3.4849 0.6176

　利用双线性变换法设计满足下列指标的 Chebyshev型数字带阻

　滤波器，并作图验证设计结果：当1kHz f 2kHz时，At 18dB ;当

　f 500 Hz 以及 f 3kHz 时， 3dB；采样频率 fs 10kHz。

　MATLA源程序：

　w1二2*10000*ta n(2*pi*1000/(2*10000));

　w2=2*10000*ta n(2*pi*2000/(2*10000));

　wr1=2*10000*ta n(2*pi*500/(2*10000));

　wr2=2*10000*ta n(2*pi*3000/(2*10000));

　[N,wn]=cheb1ord([wr1 wr2],[w1 w2],3,18,'s');% 计算阶数

　[B,A]=cheby1(N,3,w n,'stop','s');%给定阶数和参数设计滤波器

　[nu m,de n]=bili near(BA 10000)；%双线性变化法

　[h,w]=freqz( num,de n);% 频率响应 f=w/(2*pi)*10000;

　plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,5000,-120,10]);

　grid;xlabel('频率 /Hz');ylabel('幅度 /dB')

　title('切比雪夫数字带阻滤波器');

　程序结果图：

　四、实验思考题

　1.双线性变换法中Q和3之间的关系是非线性的，在实验中你注

　意到这种非线性关系了吗？从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中

　可以观察到这种非线性关系？

　答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以

　一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保 持原有的线性相位了，在每一幅使用了双线性变换的图中， 可以看到 在采样频率一半处，幅度为零，这显然不是线性变换能够产生的，这 是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。

　2.能否利用公式 完成脉冲响应不变法的数字滤波

　4亍加h

　器设计？为什么？

　答：IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 ak，bk，它是数 学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则） 去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如 果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。但是它的缺点是，存在频 率混叠效应，故只适用于阻带的模拟滤波器。

　五、实验总结

　数字滤波器的设计是信号处理方面的重要内容，通过运用

　MATLA软件来设计IIR数字滤波器，使我熟悉了 MATLA的强大功能， 同时也对数字滤波器的特点、作用有更深入的理解。了解了熟练的利 用MATLA这一功能强大的软件来设计数字滤波器对数字信号处理这 一领域有着重要的意义与价

　1 0.6019Z 1 0.9130Z 2 0.2989z 3 0.1501z 4 0.0208z 5 0.0025z 6

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