立足“三个理解”打造有效课堂
时间：2020-08-04 08:23:32 来源：天一资源网 本文已影响 人 
立足“三个理解” 打造有效课堂
——《基本不等式的证明》教学设计与反思
李素文
摘要：人民教育出版社章建跃博士在“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动的总结报告中提出：教学设计应遵循“理解数学，理解学生，理解教学”的三原则.本节课基本不等式的证明在教学设计上，不论是问题情境的引入、知识的生成及知识的应用都遵循这三个理解，凸显学生的主体地位，提高课堂教学的有效性.
关键词：基本不等式 三个理解 有效课堂 自主探究
新课程教学提倡学生动手实践，自主探究，合作交流，深刻的理解基本理论的实质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴含的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化．
学习过程不是学习者被动地接受知识，而是对知识的主动探索、主动发现和主动建构的过程.课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能，而是学生通过驱动自己学习的动力机制积极主动地建构知识的过程，这种建构是学生在自身的经验、信念和背景知识的基础上，通过与他人相互作用而实现的.教学的中心应该在于学生，而不在于教师，教师在课堂教学中应该是引导者、促进者和帮助者.
一、教学过程实录
1.情境引入，激发兴趣
问题1：你会比较下列各数的大小吗？
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） 5 ； （6） 20 ．
设计意图：不等关系的知识，学生已经学习过，从学生已有的知识入手，可以让学生有亲切感，不至于无从下手．鉴于学生的学习能力与认知水平，问题1的设置相对比较简单，学生很容易完成，从而刚上课让学生体会到初战告捷的成功感，从而使学生提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持积极、良好的情感体验．
2.自主探究，体验过程
问题2：观察上式的特点，你能否猜想出什么一般性的结论？
（教师引导学生观察几组不等式的结构特点，学生动手操作，自主探究，小组简单的交流，小组代表展示本组成果）
生1：我得到：
师：满足什么条件？
生1：是正数，且．
众生：不对，分子上的可以交换顺序，那就．
生2：当时，只需不等即可．
生3：（迫不及待的补充）我们还得到，当时，．
师：那你得到的式子，还满足什么条件？
生3：均为正数．
师：能把生1,2,3的结论整合吗？
生4：如果是两个正数，则（当时取“=”）
设计意图：学生已经学习过数列，已经初步学会由特殊的几项得到一般的结论，向学生渗透由特殊到一般的数学思想方法，引导学生观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题．通过教师的追问，学生的辨论，逐步完善思维，并培养学生的语言表达能力．
师：称为两个正数的算术平均数，称为两个正数的几何平均数．上述结论可以表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
问题3：你能否证明上述结论吗？
（学生纷纷动笔操作，很活跃，小组讨论，教师巡视各小组的进展情况，及时指出，纠正学生出现的问题，两个同学上黑板板演）
生5：（方法1）
证明：
，
．
生6：（方法2）
证明：，
，
，
．
师：谁点评一下他们的证法1.
生7：证法1是正确的，用的是作差法比较大小.
师：我们把方法1称为比较法，作差是比较两个数或代数式大小最常用的办法，以后我们还会遇到作商法，那作差法的基本步骤是什么？
生7：作差-变形-定号.
师：很好！点评一下证法2.
生8：证法2错了，把证明的结论当条件用了．
师：很好！把它擦掉有些可惜了，我们能否修改下，使之变为正确的呢？
生7：改成：假设是正确的，然后再证明．
师：这样改行得通吗？
生8：不行，还是用结论去证结论，把结论当条件用了．
师：（竖大拇指）你很了不起，这也是以往学生在证明题中经常犯的错误，你剖析的很好！，是我们要证明的结论，生6从结论出发，得到了结论成立的条件.大家看这样修改行不行？
要证：，
只要证：，
只要证：，
只要证：，
因为最后一个不等式成立，所以．
生9：行！从结论出发，寻找结论成立的条件．
师：很好！用四个字概括：执果索因．这种方法我们称为分析法．
师：通过分析，还可以得到如下的证明方法：
（教师板书）证法3：由于，
，
，
．
师：这种方法我们称之为综合法.那综合法与分析法有何不同？
生10：一个正序，一个倒序．
（众生笑）
师：言简意赅，是的，两种方法证明的思路相反，那么两种方法有什么优缺点？
生11：我觉得分析法“要证，只要证．．．”这些文字必须要写，比较麻烦，而综合法就比较简洁，但是综合法一般想不到从哪儿入手．
师：恩，说的很到位，也就是说分析法书写难，但易找思路；综合法书写简洁但难找切入点．因而我们可以各取其长，用分析法分析，用综合法书写．这和我们的生活一样，取其长补其短，这样才能更完美．好，我们再看看三种方法在什么时候取“=”．
众生：当时．（教师指着黑板上的三种证法，逐一提问）
师：只有当时，不等式才能取“=”．（教师在每种证法的最后补上：当且仅当时，取“=”）
设计意图：学生对于不等式的证明相对来说比较薄弱，通过对问题的探究思考，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时培养学生广泛参与，主动、积极地学习品质．
3.知识建构，形成理论
（板书课题）
基本不等式：如果是两个正数，则（当时取“=”）．
问题4：你对基本不等式有怎样的认识？
生12：（1）基本不等式成立的条件：；
（2）等号成立的条件是；
（3）基本不等式的简单变形：．
生13：不等式成立的条件可以推广到．
师：非常好！
4.初步应用，小试牛刀
例 已知为正数，证明不等式：．
（生14、生15、生16分别用了三种方法板演，具体过程略去，教师逐一点评）
师：大家比较这三种方法，哪种方法比较简洁？
生17：生14的直接应用基本不等式是比较简单的方法．
师：这就是为什么称为基本不等式，用这个基本不等式可以证明其余的不等式，因而称为基本不等式．这也是基本不等式的用途之一——证明不等式．
（由于在证明上放手让学生探究花去了很多时间，所以事先准备的变式训练没有完成，但不影响本节课目标的达成）
设计意图：证明此不等式，学生可以用到讲过的比较法、综合法、分析法，也可以用到基本不等式，教师不必拘束其思路．通过这种方式，学生不仅对刚学到的证明不等式的方法更加熟练，而且通过三种方法的比较，学生自能体会各种方法的优劣．
5.归纳小结，提炼升华
（略）
二、教学反思与感悟
1.理解学生，关注学情
本节课内容的设置上，先从寻找几组数的不等关系入手，通过学生的观察、归纳得到不等式，然后通过师生合作，补充不等式成立的条件和不等式取等号的条件；然后从理性的角度证明不等式，最后应用基本不等式证明不等式．特别强调的是，对于本节课的引入，笔者备课时设计了三种方法引入，但最终根据学情，考虑到上课班级为三星级中学普通班，所以采用复习旧知基础上的“温故探新”，在复习旧知中提升能力获得新知,使旧知识成为新知识的生长点.正如著名教育家苏霍姆林斯基所指出的：知识之于学生,好比是一种工具，借助它而去不断地掌握新知识.最后也证明了采用这种引入学生容易接纳，也已达成本节课的目标．
2.理解教学，加强自主探究
数学新课改非常重视数学探究，要求学生在教师的指导下，以类似科学研究的方式，去获取知识、应用知识．本节课采用研究性学习的方法，我认为数学研究性学习素材，不仅包括对例题的探究性活动，更重要的是把探究活动贯穿于整个教学过程.因而，在整节课中，我始终坚持学生能够通过自主探究得到的结论，老师不讲，真正把课堂还给学生，由学生通过学生的体验突破难点，教师突出重点，同时，学生的参与度很高，积极性也很高，并且学生最后的总结也很到位．在证明不等式时，由学生先给出，对于学生错误的方法再纠正，利用错误资源惊醒学生，这样学生对该知识点的印象就比较深刻．对于分析法的格式及应用基本不等式的条件在证明中给与了重视．学生的想法也许欠严密，但同时也暴露了学生的认知规律；学生的解法也许是奇特的，甚至觉得有些不可思议，但奇特中往往展示了学生的智慧与聪颖；学生的问题，也许是节外生枝的，但节外生枝有可能会弥补教师忽略的某一个侧面.就连学生的错误，也有一定的研究价值，通过错误，剖析学生的知识上的不足还是思维上的不完善、不严谨，及时纠正，变废为宝.因而教师在教学的过程中，不要怕学生出错，因为它往往反映出学生的某种心理现象，是学生再次反思、理清思路的好素材．
3.理解数学，突显数学思维
在教学的过程中，渗透了一般到特殊、化归的数学思想方法．张奠宙教授指出：“所谓基本教学经验，是指在教学目标的指导下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识”．史克宁认为：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”．数学是培养学生思维的“体操”，数学学习的过程，也是学生提高思维水平的过程．而基于提高思维水平的教学活动，则重在培养思维的广度和深度，培养思维的严密性、发散性和创新性.基于提高学生思维水平的数学活动，应该借助于问题为载体，把问题开放化，为学生研究提供更加广阔的空间．因而，在本节课中，不论是基本不等式的证明还是例1，都是把自主选择权还给学生，学生用自己的方法解决问题，教师总揽全局，适时点拨，升华知识方法．最后的思想方法总结上，教师引导学生总结，得到学习本节课的思路，整体把握本节课的思路：数学观察—数学猜想—数学证明—数学解题．
四、教学点评
本节课的第一个亮点是学生的参与度非常高，前后有近20人次上黑板板演或参与回答问题，关键问题都是由学生自主探究得出，学生对数学学习很是积极，突出了学生的主体地位，教师的主导作用定位在了引导、帮助、释疑、引思上.课堂上实现了师生之间的有效互动．问题的设置有梯度，有层次感，适合不同层次的学生学习，真正体现了新课程理念：以学生为本，让不同的学生在数学学习上得到不同的发展，实现了数学教学为所有学生服务，不同的人学不同的数学，人人学有用的数学．以导学案的方式进行教学与学习，并以六人为一学习小组，进行合作交流学习，真正体现了学生学习的主体性，还培养了学生合作交流的意识，提高了课堂教学的有效性．
本节课的第二个亮点是老师在教学中尽可能多地让学生上黑板书写，在公式的证明及例题的求解敢于放手让学生去处理，既让学生享受成功的喜悦，也可以让学生暴露出问题，尤其是分析法的引入，使老师的讲解更有针对性，达到规范书写、优化思维，提升能力的目的.本节课教学目标明确，定位准确，突出了基础知识、基本技能、学生基本活动经验，教学内容以课程标准为基础，教学结构符合学生的认知结构，板书设计合理．在进行知识教学的同时，关注到了数学思想方法的教学．教师基本功扎实，教态自然，给学生营造了一个和谐、民主的学习氛围，这都有利于学生的创造活动．
本节课的第三个亮点是在教学中，教师非常注重学生情感态度、价值观的培养，积极应用赏识教育．对于学生的正确想法给与积极的肯定，对于学生的幼稚的想法，也没有一棒打死，回应于鼓励的眼神．通过学生的探究活动，让学生体验学习的过程，掌握科学的方法，培养学生良好的思维习惯和科学探究的意识，试想成人以后有多少人会用到基本不等式，但围绕本节课所学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽．
总之，本节课有明确的教学目标、有科学的预设、有精彩的生成、有自主探究的过程，无论是从课堂活动组织的有序性，还是目标的达成的有效性，都算是一节有效甚至是高效的课．
参考文献：
[1] 章建跃.理解数学 理解学生 理解教学 [j].中学数学教育（高中版），2010,12.
[2] 竺宝林.数学课堂应注重学生探究能力的培养[j].中小学数学，2012,10.
[3] 余建国.基于“三个理解”的“直线与平面平行”教学实录与反思 [j].中学数学教育（高中版），2012,3.
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