课题温州外国语学校
时间：2020-07-31 08:14:39 来源：天一资源网 本文已影响 人 
课题：2.2.1椭圆及其标准方程（一）
温州外国语学校 周一新
一．教材及学情分析：
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修2－1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时．解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
二．教学目标：
1．知识与技能目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；
2．过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力；
3．情感态度价值观目标：充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
三．教学重、难点
教学重点：椭圆的定义及其标准方程
教学难点：椭圆标准方程的推导
四．教法分析
新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人。
五．教学过程
(一) 创设情景，提出课题
数学实验：(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在白纸上的两点F1、F2，(3)用铅笔尖把细绳拉紧，在白纸上慢慢移动，画出的轨迹是什么曲线？
学生活动：让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按实验的要求，同桌间相互配合、动手绘图，教师巡视，并请已完成的两位同学在黑板上进行展示，教师用动画展示动点生成轨迹的全过程，使学生尝试到成功的喜悦。
设计意图：让学生形成椭圆的感性认识，使学生产生学习兴趣和探索欲望。
（二）实验探究，形成概念
教师提出问题：
（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
请各小组学生代表根据实验操作交流探究。
教师进一步追问：当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
学生再一次动手实践，相互讨论交流，然后抽学生代表发表意见，同时教师运用多媒体进行配合说明，可以得出：当 2 a > 2 c 时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当 2 a = 2 c 时是线段；当 2 a < 2 c 时，无轨迹。
设计意图：按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维。
在上述基础上，定义的形成已是水到渠成了，于是教师让学生自己概括椭圆定义。
定义：平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F1 F2 |。
(三) 研讨探究，推导方程
给出椭圆的定义后，教师指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质， 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质。
问题一：1. 求曲线方程的一般步骤是什么？
2. 建立坐标系的一般原则有哪些？
学生围绕两问，思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性。（对称、“简洁”）
设计意图：让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路。
问题二：怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案。
1. 建系设点：以两定点F1 、F2 的连线为 x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1
设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F1 F2 | = 2 c (c>0) ，则有F1（－满足的几何约束条件:
3. 坐标化：
到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化。4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题。
教师引导学生化简，得到 (a 2 －－的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为
5. 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略. 如有特殊情况，应给出说明。另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程。
设计意图：再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练。
教师指出：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是。
问题三：如果以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，椭圆的方程又如何呢？
让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单。
引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？
讨论得出：看，的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上。
设计意图：一方面是为了得出焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力。
（五） 归纳概括，方程特征
观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：；
（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；
（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。
在归纳总结的基础上，填下表
标准方程 +=1 +=1 图形 a,b,c关系 焦点坐标 焦点位置 在x轴上 在y轴上 设计意图：使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充
分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫。
（六）初步运用，强化理解
练习.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？并指明a2、b2，写出焦点坐标。
设计意图：明确椭圆两种形式的标准方程，运用椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程。
例、（1）已知椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)(2,0),且经过点, 求椭圆的标准方程。
设计意图：运用椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程；运用椭圆的定义或待定系数法求椭圆的标准方程。
（七）小结归纳，提高认识
提问：本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法?
活动过程:教师提问 ----- 学生小结 ----- 师生补充完善
设计意图：让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力。
（八）作业训练，巩固提高
课本第42页课后练习第1题、第2题，作业本
[板书设计]
椭圆及其标准方程 一 椭圆的定义
二 椭圆的标准方程
椭圆标准方程的推导
例一
例二
教学反思：
椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。
通过实验，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣，但由于在做实验时学生没有完全理解实验的具体操作，在这环节耗费时间，导致后面时间比较紧；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。但是在实验环节浪费了时间，在方程的推到过程中处理过于急，给学生思考的时间有点少，部分学生还没真正理解。
设计例题、习题，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。
但在本节课中，根据学生能力的高低因人施教尤为重要. 学生是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题。在解决问题中，能否既独立思考又与他人交流与合作，能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善。在设计时，应增加弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程。真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，实践新的教育理念。
F2
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相关关键词： 温州外国语学校招生
