植树问题方阵问题植问题方阵问题
时间：2020-08-25 08:13:17 来源：天一资源网 本文已影响 人 
植树问题
【含义】
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量， 要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距+1棵数=全长÷间隔长+1
全长＝株距×(株数－1)全长=间隔长×(棵数-1)
株距＝全长÷(株数－1)间隔长=全长÷(棵数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距棵数=全长÷间隔长
全长＝株距×株数全长=间隔长×棵数
株距＝全长÷株数间隔长=全长÷棵数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1棵数=全长÷间隔长-1
全长＝株距×(株数＋1)全长=间隔长×(棵数+1)
株距＝全长÷(株数＋1)间隔长=全长÷(棵数+1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 此题是植树问题中植树线路是封闭的一种.在圆、正方形、长方形、闭全曲线等上面植树,因为首尾相接,两端重合在一起.
株数＝段数＝全长÷株距棵数=全长÷间隔长
全长＝株距×株数全长=间隔长×棵数
株距＝全长÷株数间隔长=全长÷棵数线形植树 环形植树棵数＝距离÷棵距
方形植树棵数＝距离÷棵距－4 三角形植树棵数＝距离÷棵距－3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
锯木头 总时间=每次用时×次数
总台阶=每个楼梯的台阶数×楼梯数
例1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵？
例2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多 少棵白杨树？
例3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共 可以安装多少个照明灯？
例4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？
例5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电 杆， 每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 解 （1）桥的一边有多少个电杆？ （2）桥的两边有多少个电杆？（3）大桥两边可安装多少盏路灯？
【知识运用】
一、直线型植树问题
（一）两端都种： I 求全长 1、 在一条小路的一侧， 每隔 10 米种一棵柳树， 从头到尾共种 20 棵， 则小路全长多少米？
在一条小路的一侧，从头到尾共安装 10 根电线杆，每隔 10 米安装一根，则小路全长 多少米？
3、10 路共公汽车从起点到终点共有 13 的车站，每两个车站相距 2 千米，则 10 路汽车 全程多少千米？
4、时钟报时，5 时敲 5 下，每两下之间间隔 2 秒，则一共用了多少时间？
6、小明家住在 6 层，他每上一层需要 10 秒种，则他从一楼到家需要多少秒？
7、小明家住在 6 层，每个楼梯上有 16 级台阶，则他从一楼到家需要走多少个台阶？
II 求棵数 1、在一条小路的一侧，每隔 10 米种一棵柳树，如果小路全长 100 米，则可种柳树多少 棵？
2、在一条小路的一侧，从头到尾每隔 10 米安装一根电线杆，如果小路全长 100 米，则 可以安装电线杆多少根？
3、10 路共公汽车从起点到终点全长 24 千米，每两个车站相距 2 千米，则 10 路汽车全 程共有多少个车站？
4、一根木料锯成若干段需要 40 分钟，每锯一下需要 4 分钟，则可以把它锯成多少段？
5、小明从一楼到家需要 60 秒，他每上一层需要 10 秒种，则他家住在多少层，？
6、小明从一楼到家需要走 80 个台阶，每个楼梯上有 16 级台阶，则家住在几层？
III 求间距 1、在一条小路的一侧从头到尾共种 11 棵树，小路全长 100 米，则每两棵树之间相距多 少米？
2、在一条小路的一侧，从头到尾共安装 10 根电线根，如果小路全长 90 米，每两根电线 杆之间相距多少米？
3、10 路共公汽车从起点到终点全长 24 千米，10 路车从头到尾共有 13 个车站，那么每 两个车站之间相距多少千米？
4、一根木料锯成 5 段需要 40 分钟，每锯一下需要多少分钟？
5、小明从一楼到六楼需要 60 秒，则他每上一层需要多少秒
6、小明从一楼到六楼要走 80 个台阶，那么每两层之间有多少个台阶？
（二）只种一端 I 求全长
1、在教学楼前小路的一侧，每隔 10 米种一棵柳树，共种 20 棵，则小路全长多少米？
2、 在校门前小路的一侧， 共安装 10 根电线杆， 每隔 10 米安装一根， 则小路全长多少米？
II 求棵数 1、在教学楼前小路的一侧，每隔 10 米种一棵柳树，如果小路全长 100 米，则可种柳树 多少棵？
2、在校门前小路的一侧，每隔 10 米安装一根电线杆，如果小路全长 200 米，则可以安 装电线杆多少根？
III 求间距 1、在教学楼前一侧共种 11 棵树，小路全长 100 米，则每两棵树之间相距多少米？
2、在校门前小路的一侧，共安装 10 根电线根，如果小路全长 90 米，每两根电线杆之间 相距多少米？
（三）两端都不种
I 求全长 1、在教学楼与图书馆之间小路的一侧，每隔 10 米种一棵柳树，共种 20 棵，则小路全长 多少米？
2、在校门前至公共汽车站的小路一侧，共安装 10 根电线杆，每隔 10 米安装一根，则小 路全长多少米？
II 求棵数 1、在教学楼与图书馆之间小路的一侧，每隔 9 米种一棵柳树，如果小路全长 100 米，则 可种柳树多少棵？
2、，在校门前至公共汽车站的小路一侧，每隔 10 米安装一根电线杆，如果小路全长 200 米，则可以安装电线杆多少根？
III 求间距 1、在教学楼与图书馆之间小路的一侧共种 9 棵树，小路全长 100 米，则每两棵树之间相 距多少米？
2、在校门前至公共汽车站的小路一侧，共安装 9 根电线根，如果小路全长 90 米，每两根 电线杆之间相距多少米？
（四）特别问题：锯木头 数量关系式： 锯的次数＝间隔数－1 其他的一般都是干扰条件 1、一根木料锯成 7 段，每锯一下需要 4 分钟，则一共需要多少分钟？
2、一根木料平均锯成 4 段，用时 12 分钟，如果平均锯成 6 段，需要多少分钟？
二、封闭型植树问题与只种一头相同
棵数=间隔数
1、一个池塘的周长为 240 米，沿池塘周围每隔 4 米载一棵柳树，可以植树多少棵？
2、一个池塘的周长为 240 米，沿池塘周围共种树 40 棵，每两棵树相距？
3、一个池塘每隔 4 米种一棵树，共种 60 棵，则这个池塘的周长是多少米？
三、方阵问题
一周总数＝每边数量×边数－边数 每边数量＝一周总数÷边数＋1 （一）求一周的总数量 1、正方形花坛，每边摆 6 盆花（每个顶点摆一盆），一周可以摆多少盆？ 一周总数＝（每边数量－1）×边数
2、一个正五边形花坛，每边摆 6 盆花（每个顶点摆一盆），一周可以摆多少盆？
（二）求每边数量 1、正方形花坛一周共摆放 12 盆花（每个顶点摆一盆），那么每边可以摆多少盆？
2、一个正五边形花坛一周共摆放 30 盆花（每个顶点摆一盆），每边可以摆多少盆？
小结：解决植树问题和方阵问题，关键要与图结合，根据题目的特点画出草图，可以帮助 我们分析，从而选择适当的方法解决。
综合题 1、有一条长 1200 米的公路，在公路的两旁载树绿化，现从头到尾每隔 4 米载一棵梧桐 树，共需多少棵梧桐树。
2、一个池塘的周长为 240 米，沿池塘周围每隔 4 米载一棵柳树，每两棵柳树之间等距离 种了 3 棵杨树，一共载了多少棵柳树，多少棵杨树。
3、小军乘电梯从 1 楼到 5 楼需 20 秒钟，那么从 1 楼到 20 楼需多少秒钟？
4、挂钟 3 点敲 3 下，共需 4 秒钟，那么 10 点敲 10 下需多少秒钟？
5、植树节到了，同学们在长 60 米的围墙边，从头到尾每隔 4 米挖好了树坑，后来发现树 坑太少了，改成每隔 3 米挖一个树坑，问共需新挖多少个树坑？填掉多少个树坑？
6、 一本画有插图的故事书共 301 页， 每两页插图之间有 2 页文字， 如果开头一页是插图， 那么这本故事书共有多少页文字？
7、两根钢筋各长 15 米和 18 米，现打算分别把他们都锯成 3 米长的一段，每锯开一段需 3 分钟，全部锯完需多少分钟。
8、把一根木头锯成 5 段要 8 分钟，如果把这根木头锯成 8 段，则需要多少分钟。
9、时钟 4 点敲 4 下，用 12 秒敲完，那么 8 点敲 8 下，多少秒钟敲完。
10、某人到一座大厦的 10 楼去办事，他从１楼到５楼用了 64 秒，用同样的速度走到 10 楼，还要多少秒钟。
方阵问题公式
（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。
（2）空心方阵：
（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。
或者是
（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有
10×10=100（人）
再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是
10-2×3=4（人）
所以，空心部分方阵人数有
4×4=16（人）
故这个空心方阵的人数是
100-16=84（人）
解二直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得
（10-3）×3×4=84（人）
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