数学,-,函数的对称性与周期性

时间：2020-02-07 07:54:50　来源：天一资源网本文已影响人

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　　对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

　　周期性：设函数的定义域是，若存在非零常数，使得对任何，都有且，则函数为周期函数，为的一个周期。

　　对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

　　一、一个函数关于两个点对称。

　　命题1：如果函数的图象关于点和点　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　证明：∵函数的图象关于点对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于点对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴ 即：

　　∴ 是周期函数，为函数的一个周期。

　　特例：当时，为奇函数，即奇函数如果又关于点　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　命题：如果函数的图象关于两点和对称，那么：

　　当，时，是周期函数，为函数的一个周期。

　　当，时，不是周期函数。

　　证明：∵函数的图象关于点对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于点对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　从而

　　当，时

　　∴

　　即：

　　∴当，时，是周期函数，为函数的一个周期。

　　当，时

　　∴

　　∴

　　∴当，时，不是周期函数。

　　当，时

　　∴ （与条件矛盾，舍去）

　　综合得原命题成立。

　　二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。

　　命题2：如果函数的图象关于点和直线　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　证明：∵函数的图象关于点对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于直线对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴ 即：

　　∴

　　即：

　　∴ 是周期函数，为函数的一个周期。

　　特例：当时，为奇函数，即奇函数如果又关于直线　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　命题：如果函数的图象关于点和直线对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　证明：∵函数的图象关于点对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于直线对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴

　　即：

　　∴

　　即：

　　∴ 是周期函数，为函数的一个周期。

　　三、一个函数如果关于两条线对称。

　　命题3：如果函数的图象关于直线和直线对称，那么函数是以为周期的周期函数。

　　证明：∵函数的图象关于直线对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于直线对称，

　　∴ 对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴ 即：

　　∴

　　∴ 是以为周期的周期函数。

　　特例：当时，为偶函数，即偶函数如果又关于直线　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。
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