高二复数知识点精品

时间：2021-02-26 16:09:18　来源：天一资源网本文已影响人

【导语】高二本身的知识体系而言，它主要是对高一知识的深入和新知识模块的补充。以数学为例，除去不同学校教学进度的不同，我们会在高二接触到更为深入的函数，也将开始学习从未接触过的复数、圆锥曲线等题型。东星资源网高二频道为你整理了《高二复数知识点》希望对你有所帮助！

【篇一】高二复数知识点

复数的概念：

形如a+bi（a，b∈r）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示。

复数的表示：

复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈r），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：

复平面、实轴、虚轴：

点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈r）可用点z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数的几何意义：复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：

复数z=a+bi（a、b∈r）在复平面上对应的点z（a，b）到原点的距离叫复数的模，记为|z|，即|z|=

虚数单位i：

它的平方等于-1，即i2=-1；

实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。

i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数a+bi（a、b∈r），当且仅当b=0时，复数a+bi（a、b∈r）是实数a；
当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；
当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；
当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

【篇二】高二复数知识点

复数中的难点

（1）复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难，对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.

（2）复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.

（3）复数的辐角主值的求法.

（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

复数中的重点

（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.

（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

【篇三】高二复数知识点

复数定义

我们把形如a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；
当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数表达式

虚数是与任何事物没有联系的，是绝对的，所以符合的表达式为：

a=a+ia为实部，i为虚部

复数运算法则

加法法则：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；

减法法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；

乘法法则：（a+bi）·（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i；

除法法则：（a+bi）/（c+di）=[（ac+bd）/（c2+d2）]+[（bc-ad）/（c2+d2）]i.

例如：[（a+bi）+（c+di）]-[（a+c）+（b+d）i]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存在。[（a+bi）+（c+di）]-[（a+c）+（b+d）i]=z是一个函数。

复数与几何

①几何形式

复数z=a+bi被复平面上的点z（a，b）确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

②向量形式

复数z=a+bi用一个以原点O（0，0）为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。

③三角形式

复数z=a+bi化为三角形式

2011年高考总复习制作：孙老师2010-11-17

复数知识点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

复数是实数的充要条件：

① z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）；
②z∈Rz=z；
③Z∈RZZ2。

复数是纯虚数的充要条件：

① z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a、b∈R）；
②z是纯虚数或0Z+z=0；

③z是纯虚数 z2＜0。

⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.2⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]

2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2， (bc)21,(ca)20时，上式成立）

2、复数加、减、乘、除法的运算法则：

设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，则z1z2(ac)(bd)i；

z1z2(acbd)(adbc)i；
z1acbdbcad22i。

22z2cdcd

加法的几何意义：设OZ1，OZ2各与复数z1，z2对应，以OZ1，OZ2为边的平行四边形的对角线OZ就与z1+z2对应。

减法的几何意义：设OZ1，OZ2各与复数z1，z2对应，则图中向量Z1Z2所对应的复数就是z2-z1。

｜z1-z2｜的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。

3.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，

d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式：
①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.

4.共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi，则z=a-bi，（a、b∈R），实数的共轭复数是其本身

性质22zz、z1z2z1z2、zz2a，zz2bi（za + bi）、zz|z||z|

nnz1z2z1z

2、z1z2z1z

2、z1z1（z20）、z(z) z2z

2注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

nzzz...z(nN)②对任何z，z1,z2C及m,nN有 5.⑴①复数的乘方：z

mnmnmnmnnnn③zzz,(z)z,(z1z2)z1z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i1,i1若由i2421142(i)121就会得到11的错误结论.②在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不

能采用两边平方法.⑵常用的结论：

i1,i24n1i,i4n21,i4n3i,i4n1ii

i， 2nn1in2in320,(nZ) (1i)2i,1i1ii,i 1i1i若是1的立方虚数根，即

21nn则3  1 ,  2, 1  n  2(., ,1 0  0nZ)

6.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：
12

①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：|z||z|.

7.复数集中解一元二次方程：

2在复数集内解关于x的一元二次方程axbxc0(a0)时，应注意下述问题：

①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2

b|i

2abb；
若=0，则有二相等实数根x1,2；
2a2a若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.

②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

【典型例题】

2m23m2例

1、当m为何实数时，复数z＝+（m2+3m－10）i；

2m2

5（1）是实数；
（2）是虚数；
（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

m23m100（1）z为实数，则虚部m+3m－10=0，即， 2m250

2解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

m23m100（2）z为虚数，则虚部m+3m－10≠0，即， 2m2502

解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．

2m23m20（3）m23m100，

2m250

11解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数． 22

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件，还应特别注意分母不为零这一

要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m＝.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虚数不能比较大小，

m210|m|102,解得m0或m3,m3.∴m3m0

2m3或m1m4m30

当m＝3时，原不等式成立．

注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2xyilog2x8(1log2y)i，求z．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

2xy80xy3∵ 2ilog2x8(1log2y)i，∴，∴， logx1logyxy22

2x2x1解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y1y2xy

注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。

例

3、若复数z满足z=1ti（t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程． 1ti

解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．

1ti(1ti)21t22t设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==i， 221ti(1ti)(1ti)1t1t

1t

2x21t∴ ，消去参数 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

y2t

1t2

∴ 所求z的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠－1）．

诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．

【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（）

A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件

2、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（）

111B、m≤－C、m= 4412A、m≥－ D、m=－1 1

2(1)

3、2i

(1i)612i等于（）

A、0B、1C、－1D、i

4、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i

5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠2

26、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（

A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7、已知下列命题：

（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；

（2）任何两个复数不能比较大小；

（3）任何数的偶次幂都是非负数；

（4）若 t＋si=3－4i，则 t=

3、s=－4．

其中真命题为．

8、若复数z满足z+12||=－1＋2i，则z.9、设z∈C，|z|=1，则|z++i|的最大值为.

三、解答题（本大题共4题，共50分）

10、设z

z1是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．

11、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．

）

试题答案

1、B

7、（1）

8、－

2、C

3、A

4、B

5、C

6、B 8+2i

39、

310、解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法．

zzzz0, 是纯虚数，∴ ()0，即z11z1z1z

12zz∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1）， 0，∴(1)(z1)∵

设z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴ （x＋1221）＋y＝（y≠0）即为复数z对应的点的轨迹方程． 2

4诠释：解此题应抓住虚数的定义和共轭复数的性质，利用运算法则进行求解。

11、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算．

设 z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，

∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是纯虚数，

x4x43x4y0或∴ ，联立三个关系式解得， y3y34x3y0

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．

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