动态系统稳定性分析
时间：2020-09-03 08:06:06 来源：天一资源网 本文已影响 人 
第四章 动态系统的稳定性分析
要点：
李雅谱诺夫稳定性定义
李雅谱诺夫间接法
李雅谱诺夫直接法
难点：
李雅谱诺夫直接法
§4-1李雅普诺夫稳定性定义
定义4-1 对n阶自由系统=f(x,t)，若存在某一状态，对所有t都有，则称为系统的平衡状态或平衡点。
定义4-2 （李雅普诺夫意义下稳定）对任意ε>0，存在δ(ε,)>0当，有，（对t>）.则称平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定，简称李氏稳定。若δ(ε,)= δ（ε），与无关，则称一致李氏稳
定。
定义4-3 （渐近稳定） 若系统不仅是李亚普诺夫意义下稳定，且有
，则称平衡状态是渐近稳定。若δ(,)= δ（ε），与无关，则称一致渐进稳定。
定义4-4 （大范围渐近稳定） 若对任意，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定。
定义4-5 （不稳定） 若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个，当，则有，则称平衡状态不稳定。
§4-2李雅普诺夫间接法
李雅普诺夫间接法是根据A的特征值卡判断系统的稳定性。
线性定常系统的稳定性
定理4-1（间接法稳定判断定理） n阶线性定常系统，平衡点为=0，有
（1）是李雅普诺夫意义下稳定的，其充要条件是A的约当标准形J中实部为零的特征值所对应的约当块是一维的，且其余特征值均有负实部。
（2）是渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部。
（3）是不稳定的充要条件是A有，某特征值具有实部。
例4-1 x 判=0平衡点的稳定性。
解 A的特征值所对应约当块是二维的。
=
当有故=0是不平衡点。
非线性系统的稳定性
对线性系统=f（x，t），设为其平衡点。首先将系统在附近线性化，在邻域内展成泰勒级数，即
令，则系统的线性方程为
在一次近似的基础上，李雅谱诺夫给出以下结论：
A的特征值均有负实部，则渐近稳定，与R（x）无关。
A的特征值至少有一个有正实部，则不稳定，与R（x）无关。
A的特征值至少有一个实部为0，A的特征值至少有一个的稳定性与
R（x）有关，不能由A来决定。
§4-3李雅谱诺夫直接法
稳定性的判别法
定理4-2 社n阶系统为，平衡状态为=0，如果存在一个标量函数 V（x）它满足：
V（x）对所有x都有联系的一阶偏导数；
V（x）是正定的，即V（x）>0；
，若有
（a）是半负定，即0。则是李氏稳定。
（b）是负定的，即<0。则是李氏稳定。
（c）0。但不恒等于0，（使=0的解不是状态方程的非零解）是间接稳定。
（d）对（b）和（c），当有，则是大范围渐近稳定。
（e）正定，即>0，则不稳定。
例4-5
其中，a为常数，试确定平衡点的稳定性。
解 =0是唯一的平衡点。
试取
显然，V（x）>0，且有连续一阶偏导。
=
=
当a>0时，有，根据定理4-2中（b），是渐进稳定的平衡点。且当，，故有大范围渐进稳定；
当a=0时，有，根据定理4-2中（a），是李氏稳定的平衡点；
当a<0，有，根据定理4-2中（e），是不稳定的平衡点。
所选V（x）可判稳定性，故是李雅普诺夫函数。
克拉索夫斯基方法
对，是平均点，
定理4-3 取
若<0，则是渐近稳定的，
是李氏函数，即
当，有，则大范围是渐近稳定。
推论4-1 对线性定常系统，若A非奇异。
当，则=0是大范围渐近稳定。
例4-10
判断平衡点稳定性。
解 显然A非奇异，=0是唯一平衡点。
其顺序主子式为，由推论4-1，有是大范围渐进稳定。
李雅谱诺夫方程
对线性定常系统，克拉索夫斯基并非都有效。下面给出判别线性定常系统渐近稳定的充分必要条件：
取正定二次型做李氏函数；，P为正定对称镇阵，则
=+=+=
式中：
若Q是正定对称阵，则<0。系统是渐近稳定的。从而有；
定理4-4 渐近稳定的条件是，给定一个对称阵Q，若存在一个对称正定的P阵，满足李氏方程：
李氏函数为
为了方便，常数Q=I>0，由（4-5）确定P，若P正定，则稳定。
例4-11
分析平衡点的稳定性。
解 取Q=I
设 为对称矩阵，即
由李雅普诺夫方程有
=
=
则有 解得
即 P=
P的顺序主子式为
根据希尔维斯特判据，有P>0，即P是对称正定矩阵，再根据定理4-4可判系统是渐进稳定的。系统的一个李雅普诺夫函数为
4.6 基于MALAB的系统稳定性分析
[例4.12] 已知SISO系统的A、B、和C阵分别如下,分析系统的状态稳定性。
(4.13)
%程序：ch4ex9.m
A=[0 1 0;0 0 1;-1 -3 -2]; % 给A阵赋值
B=[0;3;1];
C=[1 0 0];
D=0;
[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1) %从A、B、C、D求系统的零点z、极点p和增益k；
%其中ss2zp(A,B,C,D,1)中的1表示输入u=1；
程序运行结果：
z =
-2.3333
p =
-0.4302
-0.7849 + 1.3071i
-0.7849 - 1.3071i
k =
3
从程序运行结果可得：零点z=-2.333、极点p1=-0.4302、p2=-0.7849+j1.3071、p3=-0.7849-j1.3071、增益k=3，因此系统稳定。
[例4.13] 已知单输入二输出系统的传递函数阵为
试分析系统的稳定性。
%程序：ch4ex10.m
num =[ 0 2.0000 3.0000 1.0000
0 1.6000 1.0000 1.2000]
den =[ 1.0000 2.0000 1.0000 3.0000];
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
程序运行结果：
z =
-1.0000 -0.3125 + 0.8077i
-0.5000 -0.3125 - 0.8077i
p =
-2.1746
0.0873 + 1.1713i
0.0873 - 1.1713i
k =
2.0000
1.600
从程序运行结果看子系统的2个零点均有负实部，但3个极点中有2个极点的实部为正，所以系统不稳定。
小结
本章介绍了李雅普诺夫稳定性定义及判别系统稳定性的李雅普诺夫间接法和直接法。李雅普诺夫稳定性理论不仅可以研究古典控制理论所能研究的线性定常系统，还可以研究古典控制理论所不能研究的线性时变及非线性系统。用李雅普诺夫间接法研究线性定常系统是方便的，其方法是根据的特征值或者说是根据系统的极点来判别系统的稳定性，劳斯判据仍然是实用的。李雅普诺夫直接法主要用于非线性系统的研究，它避免了解方程、求系统特征值的困难，而是采用李雅普诺夫函数来直接进行判别。直接法的关键和难点是李雅普诺夫函数的选取，对于线性系统，介绍了李雅普诺夫方程方法，而对于非线性系统书中只介绍了克拉索夫斯基方法，另外的方法如变量梯度法等请读者参考有关书籍。
习 题
4.1 试确定下列二次型的正定性。
1)
2)
4.2 试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的李雅普诺夫函数：
4.3 试写出下列系统的几个李雅普诺夫函数
并确定该系统原点的稳定性。
4.4 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性
4.5 试确定如下非线性系统在平衡状态的稳定性
4.6 试用李雅普诺夫理论求系统稳定时K的取值范围
4.7 试确定下列系统平衡状态的稳定性
相关关键词： 系统稳定性分析方法
