教育数学的理解与应用——访张景中院士
时间：2023-01-25 18:20:03 来源：天一资源网 本文已影响 人 
张晓东
(西北师范大学教育学院，730000)
张景中院士将作为平面几何的一般工具的系统面积法与消点思想相结合,使几何定理可读证明自动生成的研究得到突破[1].他在1989年四川教育出版社出版的《从数学教育到教育数学》一书中首次提出“教育数学”的概念,并先后发表四十多篇与教育数学相关的文章[2].此外，先生还热衷于数学科普工作,他的著作《数学家的眼光》被中外专家誉为“是一部具有世界先进水平的科普佳作”．
2021年6月，笔者参加“甘肃省普通高中数学湘教版教材培训”的活动,有幸聆听了张景中先生关于“数学教育与教育数学”的讲座.为了更好地理解“教育数学”成果与实践,在征得先生的同意后,以虚拟访谈的形式撰写此文,并以数学教学的视域对系统面积法的基本工具、虚数单位的生动描述和先于极限的微积分等方面的成果进行初步探讨．
笔者:张奠宙先生在《我亲历的数学教育(1938-2008)》中写道:“数学教育作为一门学科,仍然是朝阳事业,方兴未艾”[3].这句话该怎么理解?
张景中:张先生对数学教育作出了很大的贡献,他的观点与我多年的经验和想法不谋而合．他认为:数学教育应该审视建构主义,剥去其神话的外壳,吸取其合理内核．它的合理内核,可能是主客观互动的过程,约定的形成,反思抽象的作业等方面,一味强调探究、合作、发现,那不够全面[3].比如,老师有老师的教法,理论者却要求老师上课必须要有各种环节,每个环节必须不能超过多少(时间)、讨论不能超过多少(时间)等.但事实上这些环节都过于形式化,讲什么内容、讨论什么内容才是关键．数学教育研究的主要问题有两点:其一是“教什么”?即教材问题；
其二是“怎样教”，即教法问题[7].这两大问题在今天依然是值得深入研究的．
笔者:“教育数学”与“数学教育”的联系与区别是什么呢?
张景中:数学教育是对数学材料进行教学法的加工使之形成教材,而教育数学是对数学研究成果进行再创造式的整理,提供适合教学法加工的数学材料;数学教育不承担数学上的创造工作,而教育数学则需要数学上的创新[4].教育数学是要提出新定义新概念,建立新方法新体系,发掘新问题新技巧,寻求新思路新趣味．为了教育改造数学,使其更适宜于教与学,是教育数学为自己提出的任务．欧几里得把几何知识加以改造整理成《几何原本》，柯西总结牛顿、莱布尼茨以来的丰富的微积分研究成果,进行数学上的再创造,写出《分析教程》,这些都是教育数学的经典之作．教育数学的本质是优化数学,数学知识的“繁”“难”的问题一直存在,只是学生没有充足的时间去深入思考数学、品味数学,人们希望孩子们在更少的时间内学得更多、更好、更现代化、更津津有味[6]．
笔者:您能谈一谈数学难学在哪里吗?对学生而言，“容易”又体现在哪些方面?
张景中:首先,物理、化学等学科的一些理论被推翻后,就不学了,数学则是从古至今,几乎每一个年代的成果都要继承下来;其次,社会对数学的要求越来越高,数学发展越来越快,数学积累的知识越来越多,越来越难学;最后,考试对学生的评价本来就很难,评价一个科学家,看它会做什么,评价一个学生看他不会做什么,本来就很难．除此之外,我们还人为地制造了许多难点,如小学数学中定义3×2=6与2×3=6的意义不同,又很辛苦地教学生2×3=3×2(交换律),为何一开始不就规定2×3与3×2是一样呢?这样学生就会少犯许多“错误”[7]．
我认为“容易”体现在三个方面:一是具体熟悉而非抽象陌生．比如:在编写函数的概念时,标题设置为“对函数的再认识”，学生头脑里已经有过函数概念的原型,小学学过的加法、梯形的面积公式等函数概念的原型在学生的头脑里有很多,形成了长期记忆,如果把新概念和学生的长期记忆挂钩,找出共同点,原来函数就是自变量和函数值之间的对应关系,如果把变量的取值范围看成是集合的话,函数就是两个集合的对应关系,这样的话，函数的概念就变简单了．二是尽可能对一些定理少加附加条件,少加附着的东西．比如:定义幂函数时，x<0时有些函数有意义有些无意义,把幂函数推广到分数指数,目的是为了引进对数,只要x>0时的定义就够了,这样学生理解幂函数就简单了．三是教学生重方法而非强调技巧．比如:平面几何原来是没有一般方法的,我们研究了面积方法,就可以提供一般方法了,平面几何如果每道题都用技巧,那对学生是非常苦的事情,研究出方法来,就简单多了[6].
笔者:基础教育中的数学从算术、几何、代数、三角到微积分，这些内容普遍认为是经过千锤百炼的,它们还有优化的余地吗?目前取得了哪些研究成果?
张景中:这些内容是在不同的年代,不同的地方,由不同的人,为不同的目的而创造的,其中很多不是为教学而创造出来的.如微积分就是为了解决物理难题而创造的,难道它们会自然而然地配合默契,天然地适合教学和学习吗?
就基础教育而言,我们主要作了以下研究:一是一线串通的初等数学.并不需要引进什么新内容,只是将现有中学数学的知识点重新排序，将面积法作为展开初等数学体系的制高点，用单位菱形面积定义正弦重构三角,将三角、几何和代数紧密联系,彼此渗透,交互影响,共同向前[7].二是几何新方法和新体系.重视面积关系与向量法在平面的几何中的作用,构建了点几何纲要并应用于计算、恒等式、复数恒等式等方面.三是微积分推理体系的新探索,我们先于极限而建立了微积分,对微积分基本定理、初等函数求导法则、泰勒公式等方面做了相关研究.读者可参考《直来直去的微积分》一书．
基于对教育数学的初步理解,笔者以数学教学的视域,对系统面积法的基本工具、虚数单位的描述和先于极限的微积分等成果进行初步探讨．
1.系统面积法的基本工具
系统面积法，通常又称面积方法，是由一种古老的几何解题技巧发展出来的直观、简便、易学、有效的通用的几何证明和几何计算方法.长期以来，它仅仅被认为是一种特殊的解题技巧，我们在1974年至1994年这20年间，逐步把面积技巧发展为一般性方法并建立了以面积关系为逻辑主线的几何新体系.共边定理与共角定理是面积方法的两个基本工具.
注为了行文方便，将三角形的面积直接用三角形来表示.
例2(热尔岗定理) 分别连结三角形一个顶点及对边上的内切圆切点的三条直线共点.
共边定理与共角定理是系统面积法的基本工具，作为解题工具十分灵活有力，共角定理还可以作为相似三角形的性质定理的推导工具，以面积为基础的，可以简化三角和解析几何中的许多推理论证.某些师范院校教材中，详细地介绍了系统面积法的基本原理，并称之为21世纪中学平面几何新体系.
2.虚数单位的描述
“虚数”并不虚，如果用乘以-1来刻画逆时针旋转180°，再规定符号i代表逆时针旋转90°，那么i2=-1就显得非常容易理解.进一步猜想，旋转任意角时会出现什么问题呢？
例4在∆ABC外作两个等边三角形∆ABE与∆ACF，AEDF是平四边形.求证：∆DBC也是等边三角形.
过伯祥先生在《平面几何解题思想与策略》一书中对此题的证明是通过构建基底向量、定义特殊符号表示向量的旋转而进行证明的，难度较大，理解起来更加困难，而使用上述定义，此题的证明简单明了.
3.先于极限的微积分
微积分经历了从牛顿和莱布尼茨等先驱不严密的表述，到柯西-魏尔斯特拉斯用ε语言严谨的表述，此过程在相当漫长的时间里困扰着数学家们.虽然用ε语言严谨地建立了微积分的理论体系，但是对于初学者ε语言实在难以理解.能否建立直观易懂，不依赖极限的微积分呢？或者说微积分的起点能低到什么程度呢？拉格朗日梦想不用极限能否成真呢?林群院士采用“一致微商”的定义大大简化了微积分基本定理的论证，但其本质思想源于极限思想，从微积分的创立的各种关于微积分理论的思考都是基于微观的思路，其实用宏观的思路从一个不等式入手就可以串通微积分，瞬时速度比起平均速度来，有时大有时小.这些都是孩子们能懂的道理!张景中院士与林群院士给出了以下的定义：
由上述定义以及利用估算不等式可以看出，若f(x)是F(x)在区间I上的任意子区间上，若f(x)为正，则F(x)递增；
若f(x)为负，则F(x)递减；
若f(x)为零，则F(x)为常数.困扰数学家们多年的问题，原来利用估值不等式来解释是如此平凡与朴素，再也不用拉格朗日中值定理、罗尔定理等复杂的实数理论以及极限性质等.在什么情况下，差商控制函数f(x)就是F(x)的导数？关于此问题的详细论述，读者可以自行查阅相关文献.
既然导数可以不用极限和实数理论来定义，那积分呢？下面以函数y=x2在区间[u,v]上的曲边图形的面积为例进行简要地说明.
由上述例子可以明显看出，基于估值不等式建立微积分基本定理，不但可以绕过复杂的“无限分割-求和式-取极限”等过程，且简单明了，更有助于微积分初学者和高中学生的理解.需特别说明的是林群院士与张景中院士在先于极限的微积分方面已经有了系统的研究成果，本文只是从初高中的视域作了粗略的说明，读者可详细地阅读相关文献.
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