高考卷,06湖南高考试卷,数学（文史类）
时间：2020-11-16 22:09:59 来源：天一资源网 本文已影响 人 
2006年湖南高考试卷 科目：数学（文史类） （试题卷） 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：
（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。
（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。
（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.本试卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓名 准考证号 绝密★启用前 数 学（文史类） 本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分.选择题部分1至2页.非选择题部分3至5页.时量120分钟.满分150分.参考公式: 如果事件、互斥，那么 如果事件、相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是 球的体积公式 ,球的表面积公式，其中表示球的半径 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域是 A．(0,1］ B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.［1,+∞) 2．已知向量若时，∥；
时，，则 A． B. C. D. 3.若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 A．-2 B. C. D.2 4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 A．π B.2π C. 3π D. 5．“a=1”是“函数在区间［1，＋∞）上为增函数”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A．6 B.12 C.18 D.24 7．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 A．36 B.18 C. D. 8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是 A．2π B.π C. D. 9．过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是 A． B. C. D. A B O M 图1 10.如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是 A． B. C. D. 二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题号的横上.11.若数列满足：，2，3….则.12.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.13.已知则的最小值是 .14.过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.15.若是偶函数，则a= . 三．解答题：本大题共６小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分１２分） 已知求θ的值. 17.（本小题满分１２分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率；
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 18.（本小题满分１4分） Q B C P A D 图2 如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与 Q-ABCD的高都是2，AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 19.（本小题满分14分） 已知函数. （Ｉ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围. 20.（本小题满分14分） 在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；
（Ⅱ）令，证明，n=1,2,…. 21.（本小题满分14分） 已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程. 参考答案：
1－10：DCDAABCBCDC 11., 12.85, 13.5 ,14.6 ,15.-3 . 1．函数的定义域是，解得x≥1，选D.2．向量若时，∥，∴ ；
时，，，选C.3．的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2，选D 4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A.5．若“”，则函数=在区间上为增函数；
而若在区间上为增函数，则0≤a≤1，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A.6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B.7．圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.9．过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选D.10．如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且， 由图知，x<0，当x=－时，即=－，P点在线段DE上，=，=，而<<，∴ 选C.二．填空题：
11.；
12.85；
13.5 ；
14.6 ；
15.－3 .11．数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ .12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.13．已知，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5. 14．过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条。
15．是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。
16.解 由已知条件得.即.解得.由0＜θ＜π知，从而.17.解 （Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.（Ⅱ）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；
（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率是.(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.18.解法一 （Ⅰ）连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD. Q B C P A D z y x O 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.所以 于是.从而异面直线AQ与PB所成的角是.(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），， ，设是平面QAD的一个法向量，由 得.取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.解法二 （Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥， 所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.Q B C P A D O M （Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.因为， 所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.(Ⅲ)连结OM，则.所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD.从而PM的长是点P到平面QAD的距离.在直角△PMO中，.即点P到平面QAD的距离是.19.解 （Ⅰ）由题设知.令.当（i）a>0时， 若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（i i）当a＜0时， 若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得 －1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].20.解 （Ⅰ）由已知得， . （Ⅱ）因为， 所以. 又因为， 所以 =. 综上，.21.解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上，所以，即. 此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上. （Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去y得. ……① 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.A y B O x 因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦， 所以，且 .从而.所以，即.解得.因为C2的焦点在直线上，所以.即.当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 为.由消去y得. ……① 因为C2的焦点在直线上， 所以，即.代入①有.即. ……② 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.由消去y得. ……③ 由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.从而＝.解得.因为C2的焦点在直线上，所以.即.当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为. 解法三 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点， 所以.即. ……① 由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……② 且直线AB的方程是, 所以. ……③ 又因为，所以. ……④ 将①、②、③代入④得，即.当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
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