公式法教学设计

第二章

一元二次方程

３．公式法

杜寨初级中学 九年级

一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；
在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；
学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；
正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：
①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；
第二环节：公式的推导；
第三环节：看一看、练一练，巩固新知；
第四环节：收获与感悟；
第五环节：布置作业。

第一环节；
回忆巩固 活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找两位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题：
2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 x27x30

22 1 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x27x(7)24930

24162即: (x7)2250

416725 (x)2416两边开平方取“±” 得：

x75 44x75 44 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1

2第二题：
3x+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3 x22x10

332 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x22x(1)2130

3392即: (x1)2250

318125

(x)2318∵250

18∴原方程无解 活动目的：
（1）进一步夯实用配方法解方程的一班步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节 公式的推导 活动内容：

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数:a x2bxc0

aa 2 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bb2b2cxx()20a2a4aa2即: b2b24ac

(x)a4a2 b2b24ac(x)0a4a2 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b4ac0

24a2 问：什么情况下 b4ac0 24a2 学生讨论后回答：

答：
∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b4ac0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：
xbb4ac

2a4a2bb24ac xa2a xbb4ac

2a2abb24ac x2a问：如果b2-4ac

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：
（1）

中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误 bb2b2cxx()204a2aa2a4aa2（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

第三环节：练一练，巩固新知

3 活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

22(1) 2x+3=7x （2）x-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，那种方法更简捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 学生口述，教师板书第（1）题 例：解方程 2x2+3=7x 先将方程化成一般形式 解：
2x2-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴bb4ac

2x2a72575224写出方程的根 即x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习2.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。

活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。

出现的问题

1、对于（1）（2）（5）小题，有个别学生因为没有化成一般形式，从而把a,b,c的符号弄错了；

2、学生比较容易得出当a,c异号时，方程一定有解。 第四环节：收获与感悟 活动内容：
提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程应注意的问题是什么？

3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。

活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。

第五环节：布置作业

4 用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用） 2x2-4x-1=0 5x+2=3x2

(x-2)(3x-5)=0 2x2+7x=4 x2-22x+2=0 列方程解应用题

1、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少? ２、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

３、某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件, （１）若商场平均每天要盈利１２００元，每件衬衫要降价多少元？

（２）选作题（供学有余力的学生选作）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

四、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；
进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度. 5

第二章

一元二次方程

３．公式法

一、教学目标

知识技能：在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

数学思考：能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.问题解决：通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

情感态度：通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

二、教学重难点

重点：引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式；

难点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力；

三、教学方法

学生探索教师引导

四、教具准备

活页测试卷

五、教学过程

1、情境创设

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找两位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题：
2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2

x273x0 22 1 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x27x(7)24930

24162即: (x7)2250

416725 (x)2416两边开平方取“±” 得：

x75 4475 442x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1 第二题：
3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3

x22x10

33 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x22x(1)2130

3392即: (x1)2250

318125 (x)2318∵250

18∴原方程无解

（1）进一步夯实用配方法解方程的一班步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.

2、探索新知

（1）推导公式

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中的困难问题在小组内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 2 解：两边都除以一次项系数:a

问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bbbc2x2bcx0 aax2ax(2a)24a2a0即:

b2b24ac(x)0a4a2b2b24ac (x)a4a2 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b4ac0

24a2 问：什么情况下 b4ac0

24a2 学生讨论后回答：

答：
∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b4ac0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：
xbb4ac

2a4a2bb24ac xa2a xbb4ac

2a2abb24ac x2a问：如果b2-4ac

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

3 （1）

中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误 bb2b2cxx()204a2aa2a4aa2（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方 （3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

（2）公式应用

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1) 2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，那种方法更简捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 学生口述，教师板书第（1）题

例：解方程 2x2+3=7x 先将方程化成一般形式 解：
2x2-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴

bb4acx2a725752242

写出方程的根 即x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

3、随堂练习

课本65页，随堂练习第1题、第2题

4、课堂小结

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程应注意的问题是什么？

3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。

鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

5、布置作业

课本第66页，习题2.6

第

1、

2、3题 5

平方差公式教学设计

【教学分析】

本节课主要是探究平方差公式并运用公式进行整式的乘法运算。

在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。学生在本节经历从特殊到一般、从具体到抽象的推导过程，得到平方差公式，在提高学生观察、探究、发现、归纳的思维能力同时领会数学思想方法。平方差公式的学习，为以后的因式分解、分式的化简、解一元二次方程、函数等内容的学习奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了探究方法。

【教学目标】

1.了解平方差公式的及几何意义；
理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行运算。

2.在探究平方差公式的过程中，体验从“特殊到一般”的研究数学问题的方法；
通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一。

【教学重难点】

1.重点：理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行正确运算。

2.难点：在具体应用中找准平方差公式中“a”和“b”, 理解公式中字母的广泛含义.【教学策略及方法分析】

针对本节课的教学重点—平方差公式的结构特征及运用公式正确运算，我在教学中从学生刚刚学过的多项式乘法入手，通过学生的自主探究与合作学习，参与平方差公式的推导过程；
从而掌握公式的特征，并能够紧紧抓住特征，利用公式正确计算。

针对本节课的教学难点—正确理解公式中字母的广泛含义，教学中，学生可以通过观察，对比，练习，发现公式中的“a，b”不仅可以是数字，也可以是多项式，从而体会整体的数学思想在学习中的运用。

【教学过程】

一．创设情境,导入新课。

1.出示情景：（租地问题）有人向他人租了一块边长为a的正方形地，第二年地的主人提出把地的一条边增长10米，相邻另一边缩短10米。这样租合算吗？

2.学生思考：关键在计算变化后地的面积与原来的正方形面积比较大小。 3.学生结合图形得出算式：（a+3）（a-3）

如何计算结果？请同学们用多项式乘法法则进行计算。

二、自主探究，得出结论。

1．观察算式和结果，看看有发现什么规律？ （a+3）（a-3）=a2-9

2．再用多项式乘法法则计算下列多项式的积，你发现的规律还成立吗？ (x+1) (x-1)=___________; (m+2) (m-2)=__________; (2x+1) (2x-1)=_______ 3.根据以下问题提示，试着把你发现的规律说出来。

（1）式子的左边具有什么共同特点？（2）它们的结果有什么特征？

※用文字语言表示所发现的规律：

※可以用字母表示为：

三、合作交流，验证公式.对于结论：(a+b)(a-b)=a2-b2 你能计算验证上面你猜想的结论吗？ 方法一：计算（a+b）（a-b）

方法二：结合课本图14.2-1说说边长为a的正方形一边增加b，相邻一边减少b，得到的长方形面积与原正方形面积的关系用等式可表示为：

.

学生自主选择方法验证公式，教师巡视指导，有意识引导学生选择不同的方法。展示交流中，要求学生说出公式的合理性，进一步分析公式结构特征。

三、变式练习，运用公式。 例1 运用平方差公式计算：

(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (-x+2y)(-x-2y).

(3)(b+2a)(2a－b); 思考：你是如何运用平方差公式解决以上的问题？

在确定把哪个式子看成公式中“a”和“b”,应注意什么问题？ 要求学生板演解题过程，对比课本例题规范解题步骤和格式。

例2：八年级一班要订购一批校服，老师说：“我们班有98名学生，每套校服102元，谁能帮老师算一算，一共要准备多少钱？这个问题你会用我们今天学习的知识解决了吗？ 谁能以最快的速度计算出结果？说说你的算法。

例3.计算：

（y+3）(y-3)-(y-2)(y-4) 学生板演。

教师追问：计算（y+3）(y-3)与计算(y-2)(y-4)方法一样吗？说出你的理由。

教师强调：只有符合平方差公式结构特征的多项式乘法才可以运用公式简化计算，不能乱用公式。

4、变式练习。

1、下列各式的计算对不对？如果不对，应该怎样修改？

（1）（x+4）(x-4)=x2-4

(2)(-2m-3)(2m-3)=4m2-9 学生回答，辨析平方差公式的结构特征：相同的项看成“a”，互为相反数的项成“b”.

2、运用平方差公式计算。

（1）(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(2a-3) (3)1003×997

（4）（3x+4）(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 学生板演，暴露问题，相互纠错，熟练运用，掌握公式。

3.拓展训练：

(x+y)(x-y)(x2+y2) (x4+y4) (x8+y8) 引发思考，巧算激趣。

四、回顾反思，小结延伸.

1、学生自主小结：这节课有哪些收获？

2、教师结合板书系统回顾：

①平方差公式：

用式子表示：

②运用平方差公式时，应注意以下几个问题：

(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项

，另一项

；

(2)公式右边是

项的平方减去

项的平方；

(3)公式中的a和b可以是数，也可以是单项式或多项式；

3.质疑：以下的计算可以用平方差公式计算吗？ （x+2）(x+2) （a+b）(a+b) 【作业设计】

一、达标测试.

1、下列运算正确的是：（

）

A、（x+2）(x－2)=x2－2 B、(x+3y)(x－3y)=x2－3y2 C、(x+y)2=x2+y2

D、(-3a－2)(3a－2)=4－9a2

2、在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式的是：（

）

A、(2a+b)(2a－b)

B、(2a+b)(b－2a)

C、(2a+b)(-2a－b)

D、(2a－b)(-2a－b)

3、(x+2)(x－2)(x2+4)的计算结果是：（

）

A、x2+16

B、x4－16

C、x4－1

D、16－x4

4、（－2x－3y）(

)=4x2－9y2

二、综合应用.用平方差公式计算：

1）(3x+2)(3x-2)

2）（b+2a）（2a-b） 3）（-x+2y）（-x-2y）

4）（-m+n）(m+n） 5) (-0.3x+y)(y+0.3x)

6）(-3a-2)(3a-2)

三、拓展探究.1.计算

（1）（x+y）（x-y）（x2+y2） （3）(m+n+p)(m+n-p) 2.若x2－y2=12，且x+y=6，求x和y的值。

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