“教学相长”在数字电路实验设计的实践
时间：2023-01-25 18:10:09 来源：天一资源网 本文已影响 人 
李 峭 何 锋 张玉玺 熊华钢
(北京航空航天大学 电子信息工程学院， 北京 100191)
自从2017年以来，教育部积极推进新工科建设，全力探索能够领跑全球工程教育的中国模式、中国经验；
其中，在“‘新工科’建设行动路线”[1]中，包含“问学生志趣变方法，创新工程教育方法与手段”的倡议，提倡增强师生互动、改革教学方法。与此同时，翻转课堂[2]、基于学习产出的教育OBE(Outcome-Based Education)[3]等教学理念以及MOOC、SPOC等教学手段也被广泛借鉴，并在实践中改进，改进中实践。
数字电路是电工电子和信息专业本科生的专业课程，也关系到智能制造、集成电路等新兴专业的基础知识培养，需要秉持有利于培养学习者独立、创新和实践精神的理念进行教学改革。近年来，在“数字电路”教育和教学实践中，涌现了教学内容层次划分[4]、适应产业发展的教学内容调整[5]等教学模式创新，采用了虚拟仿真[4]和虚拟实验仪器[5]等教学手段，并且结合新的设计方法探索“提问-启发-思考-解答”的教学过程[6]。
“数字电路与系统”是北京航空航天大学电子信息工程学院大三年级本科生的专业核心课，也采取理论课与实验课统一授课的模式[5]。在教学实践中，深切地体会到学生的自主学习能力关系到教学模式、手段和过程改革的效果，也关系到能否在未来顺利实施OBE等教学理念。
为了启发学生的自主思考，引导养成自主学习的习惯，教师一方面将课程实验与学科特色相结合提高学生的志趣[6]，另一方面，以“教学相长”的精神持续地改进教学过程和实验设计。
作为一种双向的启发，“教学相长”[7]以平等的研讨和互动激发了学生的专业思考能力，也使教师及时且鲜活地得到学生学习产出的反馈。下面以“电子连环”FPGA实验设计为案例，说明“教学相长”在教育教学改革中的实践情况。
1.1 课程的基本情况
经过2016年的筹备，2017年小范围试用，自2018年全面推广至今，基于硬件描述语言编程、EDA工具和FPGA实现的课内实验已经被纳入2019年底修订的“数字电路与系统”教学大纲。该课程每学期授课32次，每次2课时；
其中课内实验安排8次课，如表 1所示。统一授课模式使基础知识和实验技能的学习过程有机地结合，教师也可以根据学生知识掌握的情况进行微调。
表1 课内实验课时的安排
在有限的实验课时中，进行Verilog HDL编程的精讲，以及实验的引导、讲评和演示；
学生则分为3～4人的小组，使用便携式实验板在课下完成实验，不占课时。这种实验板由本学院实验中心开发，核心为50万门规模的FPGA芯片，并集成有编程器，直接用USB电缆连接计算机就能实现JTAG编程和调试。实验板外形尺寸参照arduino，便于与其他课程中的微控制器板接口并堆叠使用[8]。
课程中安排三次课内实验，前两次分别针对数字逻辑和有限状态机，第三次为综合实验。其中，数字逻辑实验虽然不是“零起点”(“零起点”的学生已经在EDA工具教学后，以作业的形式根据例程实践了基本开发流程)，但不仅承担着使学生熟悉实验器材、掌握FPGA开发流程、培养后续实验的先备技能的入门作用，而且具有将当时所传授的逻辑代数和组合逻辑课本知识融会贯通于硬件实现的职能，更是激发学生的学习志趣，熏陶专业素养的关键环节。
在2018年，根据“九连环”与格雷码的关系设计了数字逻辑实验，并且切实经历了师生相互启发的过程，在2020年更新了实验内容，完善并扩展了与数字编码、组合逻辑设计有关的专业知识，是能够实证“教学相长”的典型案例。
1.2 数字逻辑实验设计
1) 实验背景
在进行数字逻辑实验(即第一次课内实验)之前，学生先修的数字电路理论知识为：数制与编码、逻辑代数基础、门电路。
在数字编码中，格雷码(Gray code)具有单位距离等特性，且与逻辑代数基础中卡诺图有关，是需要掌握的知识点。传统玩具“九连环”恰好与格雷码序列的变化规律有关，如图 1所示，它由“钗”“板”以及连锁的环组成。如果以环套在“钗”上为“1”，取下落在“板”上为“0”，则将环从“钗”上全部取下的变化过程是格雷码的逆序。
图1 “九连环”玩具
布置实验只需要1个课时，在随后的3周期限内学生在课下完成实验。便携式实验期间可以通过课堂教学继续传授理论知识，而且实验开始后课堂教学内容恰好是组合逻辑电路的分析与设计，且讲解了格雷码与自然二进制码转换的例题。
因此，通过硬件描述语言实现“电子连环”，模拟“九连环”的求解原理，既能巩固课堂所学的知识点，又是非常有趣的实验设计。
2) 实验目标
除了在数字逻辑知识体系上获得巩固和发展的深层次教学目标之外，具体的实验目标为：
(1) 熟练掌握数字电路EDA编程、综合、仿真测试和硬件下载的流程；
(2) 掌握Verilog HDL的模块语法结构，以及模块的实例化方法，认识到模块封装的设计思想；
(3) 掌握通过连续赋值assign和带有电平敏感表的always过程块实现组合逻辑的编程方法；
(4) 在实验过程中，注意督促学生养成良好的编程习惯(如缩进、变量命名等)，并培养他们仿真测试和调试的技巧。
3) 实验要求
(1) 要求使用便携式实验板上的LED数码段，分别表示“九连环”中每个环的“1”“0”状态，约定以点亮LED段表示“1”，熄灭表示“0”；
(注：由于外设限制，2018年的实验只模拟了“八连环”)
(2) 要求具有“电子连环”求解功能，即初始状态为全“1”，按动一下按键，就按照格雷码序列的逆序，改变某个环的状态，连续按动按键，直至使所有的环都为“0”；
(3) 采用Verilog HDL语言编程实现“电子连环”求解的组合逻辑，且不允许使用查表法；
(4) 要求对关键的数字逻辑进行功能仿真测试；
(5) 要求最终下载到便携式实验板实现并演示。
上述仅为实验的基本要求，对于学有余力的学生，可分阶段地安排自动求解，以及从任意初始状态求解等内容。
4) 实验实施过程中教师的引导
教师和助教在课下投入大量的精力进行答疑和个别辅导。
在2018年的第一代“电子连环”实验中，教师想到的只是将格雷码转换为自然二进制数，减1操作后再转换回格雷码的方案；
经过“教学相长”的过程，在2020年推出的“第二代”实验中已经能够模拟“九连环”的机械结构进行求解。
因此，在2018年的辅导中只需要提示格雷码与自然二进制数的转换关系，并可以联系课堂所学的组合逻辑例题。而在2020年的辅导中，明确铺垫出“自由环”和“使能环”的概念(参见4.1)，并建议学生通过格雷码“单位距离”的证明(参见4.2)自主地发现其中的奥秘。
在实验的过程中，学生难免产生畏难情绪，需要教师从技巧上和心理上进行引导和鼓励：
(1) 对于便携式实验板上的数码管动态扫描、按键去抖等功能均提供成熟的模块供实例化，使学生集中精力设计关键的数字逻辑，并养成有意识地封装功能模块积累“元件库”的好习惯；
(2) 以学生真正学会学懂为目的，在答疑的时候宽严适度，如果实验小组确实用心地进行了设计与调试，只是卡在某个具体问题上，可以给他们看看参考设计，捅破“窗户纸”，避免过分以实验成绩为导向造成师生的对立，使学生乐于参与“教学相长”过程。
成语“教学相长”出自《礼记·学记》，本意是指教师自身的教与学，后引申为师生之间相互促进[8]。“教学相长”的精髓在于“自反”，即所谓“…学然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后自强也”。而且，反馈的内容并不是教师事先预设好的，更不是为了取悦学生，而是历经了长期的相互启发和改进。
最初“九连环”的引入是为了配合格雷码和自然二进制码的组合逻辑分析的课堂教学，引起了学生们的广泛兴趣。当基础知识课程教学与课内实验统一安排之后，教师不失时机地在2018年秋季学期设计并布置了第一代“电子连环”实验。实验教学实施的过程中，教师耐心地答疑，虚心地听取学生的反馈，细心地评阅实验报告，重视并落实“教学相长”中重要的“自反”环节。其中，对实验设计的改进起到决定作用的“自反”环节为：
(1) 评阅2018年实验报告时发现，一组学生提到模拟“九连环”的机械结构(见第4.1节)进行电路实现的想法，但没有给出具体方案，这种新颖的想法得到了教师的重视；
但是，单纯从解“九连环”的民间口诀入手，由于存在递归，并不适宜硬件描述语言实现，这个问题的确使教师“教然后知困”。
(2) 2020年课堂教学第1周，刚讲到格雷码性质的时候，学生提问格雷码序列的“单位距离”特性是如何证明的；
对于这个在教学参考书上没有出现过的证明，教师接受挑战，在自主给出证明的同时，萦绕在心头的模拟“九连环”机械结构的问题突然豁然开朗，由此设计升级得到第二代“电子连环”实验。
可见，只要教师真正重视学生的反馈，就可以充分利用“教学相长”过程发扬学生思维灵活的优势，提高教学的专业水平和实验设计质量。
设n比特格雷码和自然二进制码被分别记为为“gn-1gn-2…g0”和“bn-1bn-2…b0”，格雷码到自然二进制码的转换关系为：
(1)
自然二进制码到格雷码的转换关系为：
(2)
由于当时实验板显示外设的限制，要求用FPGA实现“电子八连环”的模拟求解。图 2给出了一种参考设计——环的位置用格雷码表示，以寄存器变量存储，将它转换为自然二进制数，用户通过按键触发“减1”操作后，再将得到的数值转换回格雷码，更改原寄存器的值。
图2 第一代“电子连环”参考设计模块图
由于在入门阶段并没有系统地讲授时序逻辑电路知识，用按键脉冲作为触发信号会使EDA工具报“门控时钟”(gated clock)警告，也有可能由于竞争冒险造成转换错误。这些都在预料之中，经过引导，让学生“理解其局限性”[10]，能够成为他们工程教育中的宝贵经历。
然而，该实验设计真正的缺陷在于，完全套用了转换公式(1)和(2)，与实际的“九连环”结构并没有关系。曾有一份实验报告提到了以机械结构模拟的思想，但并未给出方案。真正合理的设计尚需教师和学生们在机缘巧合下相互启发。
4.1 机械结构约束
设g0为离手柄最远的环，则由机械结构限定，g0总是可以通过一步操作自由地套在“钗”上或从“钗”上取下，我们称之为“自由环”。
如果设i>0，对于某个环gi，如果紧挨着它的低位环是套在“钗”上(即gi-1=1)，并且要么gi-1是g0且为0或g0=g1=…gi-2=0，此时的gi可以只通过一步操作套在“钗”上或者从“钗”上取下，我们称之为“使能环”。
对于“n连环”(n为整数)，“自由环”总是存在，“使能环”除了“全零”和“10…0”两种情况之外都存在。除了“自由环”和“使能环”，其他环都不能随意地套上或取下。
4.2 数字逻辑与“九连环”的解法
从格雷码单位距离特性的证明中，可以找到解开“九连环”的数字逻辑规律。
性质1(单位距离特性)格雷码相邻的码字之间只有1位比特不同。
证明：
设两个相邻的n比特格雷码符号分别为Gk和Gk+1(注：如果k=2n-1，则后者为Gn)，则它们所对应的自然二进制码Bk和Bk+1的数值只相差1，即Bk比Bk+1递减1。以下分情况讨论：
情况1——如果Bk+1为奇数，则Bk和Bk+1只有最低位不同；
情况2——如果k<2n-1，且Bk+1为偶数，即可表示为“x…x10…0”形式，它的第i-1位到第0位为0，第i位为1；
由Bk=Bk+1-1，则Bk的第i-1位到第0位为1，第i位为0；
且此时Bk和Bk+1从第n位到第i+1位相同；
情况3——如果k=2n-1，Bk为全1，Bn相当于Bk+1。
根据式(2)将Bk+1和Bk分别转换为Gk+1和Gk，则在上述三种情况下，分别存在：
情况1——Gk+1和Gk只有最低位不同，其他位相同；
情况2——Gk+1和Gk只有第i位不同，其他位相同；
情况3——k=2n-1，Gk为“10…0”，Gn为全0，它们循环相邻，只有最高位不同。
综合上述三种情况，得证。
格雷码单位距离特性的证明对于解开“n连环”的启示为：情况1对应着操纵“自由环”，情况2对应着操纵“使能环”，而情况3对应着两种不存在“使能环”的编码状态，其中Gn意味着“钗”和“板”完全分离。
4.3 自动求解“电子连环”
在实验布置中，听取了教学名师的建议，采用分类要求的方式兼顾不同能力水平的学生。基本要求为：模拟“九连环”机械结构的约束规律进行数字逻辑设计。要求以逻辑值表示环的状态并用LED字段显示；
用一个按键循环移位选中某个环，用另一个按键对选中的环发出翻转信号；
若选中的环不能随意翻转，则保持当前值并输出提示信号。提示并鼓励学生在编程中采用Verilog-2001标准的生成块语句，使得可以根据参数n(n为整数)实例化得到“电子n连环”。
扩展要求是对于“电子连环”自动求解。在《实验指导书》中，教师并未直接给出求解的通用方法，但提示学生通过研讨单位距离特性的证明自主探索。实际上，由式(1)，如果Bk+1为奇数，即b0=1，则Gk+1一定含有奇数个“1”，对应情况1；
反之则对应情况2；
情况3中的Gn则可以作为停止求解的条件。换言之，存在：
情况1下的一步求解操作——如果当前“钗”上套有偶数个环，则翻转“使能环”；
情况2下的一步求解操作——如果当前“钗”上套有奇数个环，则翻转“自由环”。
表2和表3分别给出情况1和情况2一步求解的例子，并注明了对应的格雷码和自然二进制编码。
表2 情况1下翻转“使能环”的例子
表3 情况2下翻转“自由环”的例子
交替地在情况1和情况2下执行一步求解操作，直至将所有的环从“钗”上解下，出现情况3，即 “钗”上环的个数为零，零也是偶数，但此时不存在“使能环”，求解自动停止。
对于改进的“电子连环”设计，图 3给出自动求解的参考方案。其中，仍以寄存器变量存储格雷码，表示环的状态。根据机械结构约束和当前的格雷码得到“使能环”位置的比特矢量，即“使能环”对应的比特为“1”，其他为“0”；
而“自由环”位置的比特矢量为常量“00…01”；
根据格雷码中“1”的个数的奇偶性选择位置比特矢量——如果为偶数则选择前者，否则选择后者。将所选位置比特矢量作为寄存器变量中各比特的选通信号。由低频脉冲的边沿触发，每次使寄存器变量中被“1”选通的比特位翻转，直至变量为全零，实现自动求解。与图2中的方案相比，该方案不需要多位格雷码和自然二进制码的反复变换，避免了竞争冒险。
在学期结束的时候，进行了无记名问卷调查，2018年秋和2020年秋的问卷与本实验案例有关，分别收回101份和136份问卷。学生选择0～10分值，评价实验设计质量和课程满意度，统计得到各分值样本所占比例，如图4(a)和图4(b)。
图3 “电子连环”自动求解参考设计模块图
(a) 实验设计的质量
(b) 课程满意度图4 问卷调查统计结果
如果比较更加灵敏的净推荐值(Net Promoter Score，NPS)指标[11]，如表 4，可以发现2020年秋的指标比前者有了较大幅度的提高。
表4 实验设计质量和的满意度的NPS指标 %
考察学生们的匿名书面评教意见，在2018年秋季学期，学生们赞许了教师的认真态度；
而在2020年秋季学期，则欣喜地发现学生在肯定教师认真态度的同时，认为课内实验使“开发FPGA的能力有了明显的提高”。这种教师的“苦劳”到“功劳”的转化是与“教学相长”的反馈作用分不开的。
可见，不仅统计数据体现了“教学相长”对于持续提升实验设计质量的正向作用，而且学生的参与增强了他们驾驭专业知识的能力与信心。
以格雷码序列的实际应用为例，高速异步FIFO缓冲器[12]以它被作为的缓冲队列指针的编码，需要实现格雷码序列的“加1”和“减1”操作。
以往在“数字电路与系统”的教学中，传授的格雷码性质包括：单位距离特性、循环相邻特性、镜像反射特性，以及格雷码与自然二进制的转换方法(以下简称“转换法”)；
以往只能依赖最后这条性质实现格雷码序列的递增和递减[13]。
通过师生之间“教学相长”的相互启发，不但通过模拟“九连环”的机械结构发现了格雷码序列递增和递减的新方法(以下简称“机械模拟法”)，逻辑证明了单位距离特性，丰富了教学内容，而且与“转换法”相比，具有如下的优势：
(1) 虽然相邻的格雷码之间只有一位比特不同，但“转换法”将格雷码转换到自然二进制的组合逻辑存在着多位比特的同时变化，而“机械模拟法”能够选定真正需要变化的一位，仅对它进行翻转操作；
(2) 当码长较长时，“转换法”在计算式(1)和自然二进制数减1(或加1)的超前进位时需要多变量扇入的组合逻辑，而“机械模拟法”只需要在判断“使能环”和判断当前码字是否含有奇数个“1”的时候需要多变量扇入的组合逻辑，其实现的复杂度不高于前者；
(3) 还可以模拟机械结构的约束，添加监督控制机制，被错误选定的位不会被使能，进一步增强可靠性。
可见，学生思维活跃，善于提出问题，教师从知识体系的角度，在引导他们解决问题的过程中扩展了专业能力，促成了新的知识发现。
三年级本科生处于专业知识初步积累且思维活跃的阶段，“教学相长”使部分学生自主参与到教学过程中，进而对其他学生起到带动作用。围绕着一个数字电路实验的设计实例，展示了“教学相长”使基础知识教学与课内实验建设在学生们的自主参与下得到了统一和持续提升。
与经过预先设计的启发式教学方法相比，通过“教学相长”达到师生间相互启发的境界也许会经历很长的时间，具有“可遇而不可求”的缺点。但是，在“教学相长”过程中，教师孜孜以求的精神，对待科学技术不耻下问的态度，起到了“身教胜于言教”的作用，对于学生自主能力的培养，以及“课程思政”的建设均有裨益；
与其他教育教学方法和手段融合，将有利于建设对学生现在和未来发展有重要影响力的课程。
