苏教版九年级数学下册,二次函数与图形面积问题,教案
时间：2021-04-14 06:14:38 来源：天一资源网 本文已影响 人 
二次函数与图形的面积问题 知识导图 三角形 常见考查图形 梯形 不规则图形 直接计算 分割法 相似图形 铅垂高乘以水平宽 二次函数与图形的面积问题 说明的顺序和结构 三点剖析 考点 能力要求 重难点 易错点 识记理解 分析应用 综合表达 分割法求图形的面积 √ √ √ 利用图形的相似求图形的面积 √ √ √ √ 铅垂高乘以水平宽 √ √ √ 知识精讲 考点 1 利用分割法求图形的面积 【考点解析：】 适用题型：1、矩形或者正方形中，计算不规则部分面积；
2、一次函数和二次函数图像中不规则三角形或者四边形的面积 常见分割方法：
1、用规则图形面积减去规则图形的面积；
2、沿着x轴或者y轴将图形分割成两个三角形；
3、过图形上的点往x轴或者y轴作垂线，将图形分割成三角形和直角梯形 【典型例题：】 例 1.1.1如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E． （1） 求点E的坐标；
（2） 求过 A、O、E三点的抛物线解析式；
（3） 若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。
【答案解析】解：（1）作AF⊥x轴于F，∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°= ∴点A（1，）代入直线解析式，得， ∴m= ∴ 当y=0时， 得x=4，∴点E（4，0） （2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线过原点 ∴c=0 ， ∴ ∴抛物线的解析式为 （3）作PG⊥x轴于G，设P（x0，y0） S四边形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE = = 当时，S最大=． 【解析】（1）（2）由图可作AF⊥x轴于F，根据直角三角形性质，用待定系数求E点坐标和的抛物线解析式；
（3）再作作PG⊥x轴于G，将四边形OAPE的面积S用x0来表示，将问题转化为求函数最值问题． 【针对练习：】 练 1.1.1 （2016苏州中考第28题）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′． ①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）． 【答案解析】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3， ∴y=3， ∴B（0，3）， 把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4， ∴3=a+4， ∴a=﹣1， ∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3， ∴0=﹣x2+2x+3， ∴x=﹣1或3， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3， ∵M在抛物线上，且在第一象限内， ∴0＜m＜3， 过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D， 由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3， ∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3， ∴x=， ∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3）， ∴DM=m﹣=， ∴S=DM•BE+DM•OE =DM（BE+OE） =DM•OB =××3 = =（m﹣）2+ ∵0＜m＜3， ∴当m=时， S有最大值，最大值为；
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F， 根据题意知：d1+d2=BF， 此时只要求出BF的最大值即可， ∵∠BFM′=90°， ∴点F在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H， ∵点C在线段BM′上， ∴F在优弧上， ∴当F与M′重合时， BF可取得最大值， 此时BM′⊥l1， ∵A（1，0），B（0，3），M′（，）， ∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=， 过点M′作M′G⊥AB于点G， 设BG=x， ∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2， ∴﹣（﹣x）2=﹣x2， ∴x=， cos∠M′BG==， ∵l1∥l′， ∴∠BCA=90°， ∠BAC=45° 【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；
（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；
（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值． 考点 2 利用相似解决图形的面积问题 【考点解析 ：】 例：如图，DE//BC，如果AD∶AB=k呢？求S△ADE∶S△ABC的值。
适用题型：图形中涉及平行线、相似三角形 常见分割方法：1、利用平行关系或者三角形的相似，计算出对应的边长；
2、根据面积之比是相似比的平方直接表示出图形的面积 【典型例题：】 例 2.1.1 已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A、C两点，且AB=2． （1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；
当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；
设s=，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值． （3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；
若存在，求t的值；
若不存在，请说明理由． 【答案解析】解：（1）由直线：y=x﹣2知：A（2，0）、C（0，﹣2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）． 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）（x﹣4），代入C（0，﹣2），得：
a（0﹣2）（0﹣4）=﹣2，解得 a=﹣ ∴抛物线的解析式：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）=﹣x2+x﹣2． （2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t；
而 OP=OB﹣BP=4﹣2t；
∴s===（0＜t＜2）， ∴当t=1时，s有最小值，且最小值为 1． （3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 BC=2；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，则 CD=t；
∴BD=BC﹣CD=2﹣t；
以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，则有两种情况：
①=⇒=，解得 t=；
②=⇒=，解得 t=；
综上，当t=或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 （1）首先根据直线AC的解析式确定点A、C的坐标，已知AB的长，进一步能得到点B的坐标；
然后由待定系数法确定抛物线的解析式． （2）根据所给的s表达式，要解答该题就必须知道ED、OP的长；
BP、CE长易知，那么由OP=OB﹣BP求得OP长，由∠CED的三角函数值可得到ED的长，再代入s的表达式中可得到关于s、t的函数关系式，结合函数的性质即可得到s的最小值． （3）首先求出BP、BD的长，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知的条件是公共角∠OBC，那么必须满足的条件是夹公共角的两组对应边成比例，分两种情况讨论即可． 【针对练习：】练 2.1.1 如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD 分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2． 【答案解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20， ∴AB==25， ∵CD•AB=AC•BC， ∴CD=12， ∵斜边上的高CD分成n等分， ∴CH=， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴=，即=，解得EF=•25， 即从上往下数，第1个矩形的长为•25， 同理可得从上往下数，第2个矩形的长为•25， … 从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为•25， 而所有矩形的宽都为•12， ∴这（n﹣1）张纸条的面积和是=[•25+•25+…+•25]• •12 =（1+2+…+n﹣1）••12 =（cm2）． 故答案为． 【解析】先利用勾股定理计算出AB=25，再利用面积法计算出CD=12，接着证明△CEF∽△CAB，则可计算出EF=•25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为•25，…，从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为•25，且所有矩形的宽的和为•12，然后把所有矩形的面积相加即可． 练 2.1.2 已知抛物线（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D． （1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？ 【答案解析】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1）， ∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0）， ∵直线y=﹣x+b经过点A， ∴b=﹣3， ∴y=﹣x﹣3， 当x=2时，y=﹣5， 则点D的坐标为（2，﹣5）， ∵点D在抛物线上， ∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5， 解得，a=﹣， 则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；
（2）作PH⊥x轴于H， 设点P的坐标为（m，n）， 当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA， ∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=， ∴=，即n=﹣a（m﹣1）， ∴， 解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去）， 当m=﹣4时，n=5a， ∵△BPA∽△ABC， ∴=，即AB2=AC•PB， ∴42=•， 解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣， 则n=5a=﹣， ∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；
当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA， ∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=， ∴=，即n=﹣3a（m﹣1）， ∴， 解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去）， 当m=﹣6时，n=21a， ∵△PBA∽△ABC， ∴=，即AB2=BC•PB， ∴42=•， 解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣， 则点P的坐标为（﹣6，﹣）， 综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F， 则tan∠DAN===， ∴∠DAN=60°， ∴∠EDF=60°， ∴DE==EF， ∴Q的运动时间t=+=BE+EF， ∴当BE和EF共线时，t最小， 则BE⊥DM，y=﹣4． 【解析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解析式；
（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可． 考点 3 利用铅垂高和水平宽公式求解图形的面积问题 公式：S=铅垂高乘以水平宽 适用题型：多用于不规则三角形或者四边形的面积计算，其中该图形有至少两个顶点在函数图象上 常见分割方法：选用一条分割线作为底，分割线左右（上下）两个顶点之间的间距作为高，其面积为S=铅垂高乘以水平宽 【考点解析 ：】 【典型例题：】 例 3.1.1 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1） 求点B的坐标；
（2） 求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3） 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由.（4） 如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；
若没有，请说明理由. C B A O y x D B A O y x P 【答案解析】 解：（1）B（1，） （2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此 （3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，/3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D. 当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.【解析】求△PAB 的面积的时候，过点P作x轴的垂线，将△PAB 的面积分成左右两个三角形，以PD为底，则AB为水平宽，利用公式表示出三角形的面积是解题的关键。
练 3.1.1 如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)， 交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 是否存在一点P，使S△PAB＝△CAB ，若存在，求出P点的坐标；
若不存在，请说明理由。
【答案解析】 解：(1)设抛物线的解析式为：把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为 把，代入中 解得：所以 (2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位) (3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为 【解析】过点P作x轴的垂线，利用铅垂高公式表示出△PAB的面积是解题关键 课堂总结 观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积. 在以上问题的分析中研究思路为：
（1）分割法求图形的面积 （2）利用相似图形求图形的面积 （3）利用铅垂高公式求图形的面积 注意：
（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形） （3）在求图形的面积时常常使用到以下公式：
抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0) 抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱= 抛物线顶点坐标（-, ） 抛物线与y轴交点（0，c）
通篇充满正能量。
相关关键词： 高中英语 作文 大全 英语 初中
