几道几何题变式与发散
时间：2020-09-18 09:15:35 来源：天一资源网 本文已影响 人 
几何题的变式与发散〖原型题〗：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M，N为斜边AB上两点，如果∠MCN＝45°．求证 AM2＋BN2＝MN2
〖变式〗：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， M，N为斜边AB上两点，满足AM2＋BN2＝MN2．求∠MCN的度数．
〖发散〗：如图，直线交坐标轴于A、B两点，E、F为直线AB上第一象限内的两个动点，∠EOF=45°.过B作BG⊥AB，且BG=AE，连OG.(1)求证：△AOE≌△BOG；(2)求证：(3)如图①，过E作EM⊥OA于M，过F作FN⊥OB于N，ME、NF交于点P，双曲线经过点P，求K.
〖原型题〗：如图，△ABC是等边三角形，作顶角∠BDC=120°的等腰△BCD，∠MDN=60°求证：MN=BM+CN
〖变式2〗：如图，△ABC是等边三角形，边长为1，作顶角∠BDC=120°的等腰△BCD，∠MDN=60°当点M、N在OA、AB上运动时，试问：△AMN 的周长是否发生变化，若不变，请求出其值，若不变，请说明理由.
〖变式1〗：已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图1），易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）
（图2）
（图3）
〖变式2〗：将两块相同的直角三角板(∠ADB＝∠BDC＝30°）如图1摆放，再将另一个稍大些的同种直角三角板(Rt△BNM)绕B点旋转， BM交边AD交于点E，BN交边CD交于点F． （1）如图2当三角板MBN绕B点旋转到AE＝CF时，AE＋CF EF （填“＞”，“=”或“＜”）；图2
(2)如图3当三角板MBN绕B点旋转到AE≠CF时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 图3
〖原型题〗：在正方形ABCD中，，∠1=∠2．求证：AE=FE
〖变式1〗：其它条件不变，如果点E为BC上任意一点，结论AE=EF仍然成立吗？
〖变式2〗：其它条件不变，如果点E为BC延长线上任意一点，结论AE=EF仍然成立吗？
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〖变式〗：（2010黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
〖发散1〗：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB图1=∠MAE．本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！（下面请你完成余下的证明过程）
图2（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
〖发散2〗：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90?，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．
〖发散〗：已知P是正方形ABCD边BC上一点，PE⊥AP，且PE=AP，连接AE、CE、AE交CD于F，（1）求∠ECF的度数。
（2）连AC，求证：
（3）若正方形的边长为4，CF=3，请直接写出CP的长为 。
〖拓展〗：1如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG的顶点B、C、E在同一直线上，点H是BE上一点，且AH⊥FH，连接AF交CD于点P，则以下结论：（1）AH=HF； （2）∠DAH=∠PHA；（3）∠APH=∠CPF； （4）HE=PH+PG。正确的有（ ）个。A．1 B．2 C．3 D．4
Ｐ12题图2、如图,在正方形ABCD和CEFG中,E、G分别在BC、CD上，连接AF、BG，点H、P分别是AF、BG的中点，BH的延长线交AD于K,连接KG、HP。下列结论：① AF=BE;②BG=2HP;③AK2+FG2=KG2;④AK+FG=KG。中正确的是（ ）A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④
ABCDQP〖原型题〗：已知Q是正方形ABCD中CD边上一点,P是BC边上一点;若∠DAQ=∠PAQ,求证:AP=BP+QD;若AP=BP+QD,则∠DAQ=∠PAQ成立吗？为什么？
BCNM图1AD〖变式1〗：如图,已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时，求证．
〖变式2〗：如图（7），正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。
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〖发散〗：已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．BBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
〖拓展1〗：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上的一点，F是AD延长线上的一点，且DF=BE,求证：CE=CF在图1中，若G在AD上，且∠GCE=450,则GE=BE+GD成立吗？为什么？根据你所学的知识，运用（1），（2）解答中积累的经验，成下列各题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD‖BC(BC＞AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB的中点，且∠DCE=450,求DE的长；如图3，在△ABC中，∠BAC=450,AD⊥BC,BD=2,CD=3,则△ABC的面积为 （直接写出结果，不需要写出计算过程）．
〖拓展2〗：如图，点B是反比例函数的图象上一点，BA⊥轴于A，BC⊥轴于C，且BA=BC；（1）试判断四边形OABC的形状并求B点坐标。（2）点D（4，0）是轴上一点，连接BD，问轴上是否存在点P，使∠PBD=450？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由。（3）若点E是CB的延长线上一动点，点F是OC上一动点，且有OF=BE，连接FA并延长使FA=AG，连接CG交AB于M，问点E、F在运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其变化范围。
相关关键词： 初中数学几何变式题
