导数变式题
时间:2020-09-18 09:12:49 来源:天一资源网 本文已影响 人
《导数》变式题
一 导数的概念与运算
1.如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3 s时的瞬时速度为( )
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
解析:∵s′=6t2,∴s′|t=3=54. 答案:C
变式:定义在D上的函数,如果满足:,常数,都有≤M成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.
文(1)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
理(2)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
解: (1) ∵. 由≤1,得≤1
∴
令,显然在上单调递减,
则当t→+∞时,→1. ∴
令,显然在上单调递减,
则当时, ∴
∴0≤a≤1;
故所求a的取值范围为0≤a≤1.
(2)∵. 由≤1,得≤1
∴
令,则.
当时,有,
∴在[0,+∞上单调递减.
故当t=0 时,有;
又,当t→+∞时,→0,
∴ ,从而有≤0,且. ∴0≤a≤1; 故所求a的取值范围为0≤a≤1.
2.已知的值是( )
A. B. 2 C. D. -2
解:
得选A
变式1:( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.1
解:
.
选B.
变式2: ( )
A. B. C. D.
3.人教版选修1-1第84页例2,选修2-2第8页例2:
根据所给的函数图像比较
变式:函数的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )
A. y
B.
C.
D. O 1 2 3 4 x
解:设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT
点B处的切线为BQ, T
y B
A
如图所示,切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
4.人教版选修1-1第93页习题A组第4题,选修2-2第18页习题A组第4题,
求所给函数的导数:
。
变式:
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是A.(-3,0)(-3,0)
5.人教版选修1-1第93页A组第6题、选修2-2第18页A组第6题
已知函数.(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数在点处的切线的方程.
变式1:已知函数.(1)求这个函数在点处的切线的方程;
(2)过原点作曲线y=ex的切线,求切线的方程.
解:(1)依题意得:切点为,
由点斜式得切线方程,
即.
(2) 设切点为
由点斜式得,
切线过原点,
切点为由点斜式,得:即:
变式2:函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=( )
A. B. C. D. 1
解:设切点为①
② 由①、②得,选B
说明:1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同,注意审题,后者一定要先“设切点的坐标” 2.求切线方程的步骤是:(1)明确切点;(2)确定该点处的切线的斜率(即该点处的导数值);(3)若切点不明确,则应考虑先设切点.
6.人教版选修1-1第99页例2选修2-2第25页例2
判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
变式1:函数的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
解:,选A
或
变式2:(1) 已知函数(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则的值是 . (2)若函数在上是单调增函数,则的取值范围是 .
解: (1)若函数的单调递减区间是(-3,1),(2) 若函数在上是单调增函数
解:(1),因为函数的单调递减区间是(-3,1),
所以-3,1是方程的两个实数根,由韦达定理,(草图略)
(2)若函数在上是单调增函数,
如图示,分类讨论:
当即即 条件成立;
当,即 条件成立;
综上,条件成立,为所求.
变式3: 设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(Ⅰ)用表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围.
解:(I)因为函数,的图象都过点(,0),所以,
即.因为所以.
又因为,在点(,0)处有相同的切线,所以
而
将代入上式得 因此故,,
(II)解法一.
当时,函数单调递减.
由,若;若
由题意,函数在(-1,3)上单调递减,则
所以
所以的取值范围为
解法二:
因为函数在(-1,3)上单调递减,且是(-1,3)
上的抛物线,
所以 即解得
所以的取值范围为
7.人教版选修1-1第103页例4 ,选修2-2第29页例4
求函数的极值.
人教版选修1-1第106页例5 ,选修2-2第32页例5
求函数在上的最大值与最小值..
变式1: 函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解:注意审题,题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性,然后列表可判断函数极小值点的个数。选A
变式2:已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
解:
(Ⅰ)由图得
X (0,1) 1 (1,2) 2 0 0 极大值 极小值 则=1;
(Ⅱ)依题意得即
.
变式3:
若函数,当时,函数有极值,
(1)求函数的解析式;
(2)若函数有3个解,求实数的取值范围.
解:
由题意: 所求解析式为
(2)由(1)可得: 令,得或
当变化时,、的变化情况如下表:
— 单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗ 因此,当时,有极大值
当时,有极小值
函数的图象大致如图:……13分 y=k
由图可知:
变式4:已知函数,对x(〔-1,2〕,不等式f(x)(c2恒成立,求c的取值范围。
解:
f((x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
X (-(,-) - (-,1) 1 (1,+() f((x) + 0 - 0 + f(x) ( 极大值 ( 极小值 ( f(x)=x3-x2-2x+c,x(〔-1,2〕,当x=-时,f(x)=+c为极大值,
而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。
要使f(x)(c2(x(〔-1,2〕)恒成立,只需c2(f(2)=2+c
解得c(-1或c(2
三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题
8.人教版选修1-1第108页B 组习题,选修2-2第34页B组习题
利用函数的单调性,证明:
变式1:证明:,
证明:(1)构造函数,
,当,得下表
+ 0 — 单调递增 极大值 单调递减 总有
另解,当,
当,单调递增,……①
当,单调递减, ………………②
当 …………………………………………………………③
综合①②③得:当时,
(2)构造函数,
当,当单调递减;
当单调递增;极小值=,
总有即:.
综上(1)(2)不等式成立.
变式:(理科)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.
解:
方程f(x)=x2+x+a, 即x-a+1-ln(1+x)2=0,记g(x)=x-a+1-ln(1+x)2.
所以.由>0,得x<-1或x>1,由<0
得-1<x<1.
所以g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在上各有一个实根,于是有
9. 函数若恒成立,求实数的取值范围
解:由,得单调递增;
又,
所以是奇函数.,
在上单调递增, 恒成立,即:恒成立,分类:①当恒成立,适合;
②当恒成立解得:
综上,
说明:(1)通过研究函数的性质(单调性与奇偶性),利用函数的性质解决不等式问题,是函数思想的重要应用.(2)找寻使恒成立的条件实际上依然用的是函数图像(数形结合)的函数思想.
变式:设函数若恒成立,求实数的取值范围.
解:由,得单调递增;
又,
所以是奇函数.,
恒成立,即恒成立.
①当成立;②当
10.如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q
(1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求的面积的最大值
解:(1),所以过点M的切线的斜率为
由点斜式得切线PQ方程为,
即……①
(2)…………②
对①令x=6得…………③
令y=0得…………④
③④代入②得
,令 解得
T (0,4) 4 (4,6) S’ + 0 - S 增 极大值64 减 所以当t=4时有极大值64,
所以当t=4时,的面积的最大值为64.
11.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折900角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大的容积是多少?
解:设容器的高为x,容器的体积为V.
则(0 < x < 24)
=x
∵x
由
∴
所以 当
又
所以 0
答:该容器的高为10cm时,容器有最大容积19600
12.某厂生产某种产品件的总成本(万元),已知产品单价的平方与产品件数成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大?
分析:先建立总利润的目标函数,总利润=总销售量-总成本C(x)= 产品件数*产品单价-C(x),因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.
解:设产品的单价P元,据已知,,
设利润为y万元,则
,
递增;递减,
极大=最大.
答:当产量为25万件时,总利润最大
四、理科定积分、微积分
选修2-2第59页例1、例2
计算下列定积分:
变式1:计算:;
(1);(2)
解:.(1)
(2)利用导数的几何意义:与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心,2为半径的四分之一个圆,其面积即为(图略)
变式2: 求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.
分析:利用定积分的定义解题,应当画出草图.
解:先求出抛物线和直线交点坐标(1,1),(1,-1)
利用定积分的定义易得:
变式3:在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为,试求:(1)切点A的坐标;(2)在切点A的切线方程.
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相关关键词: 小学数学变式题