函数单调性

时间：2020-02-07 08:00:53　来源：天一资源网本文已影响人

课题：§1.3.1函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1

1 随x的增大，y的值有什么变化？ 2 能否看出函数的最大、最小值？

y x 1 -1 1 -13 函数图象是否具有某种对称性？

2．画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

y x 1 -1 1 -1

2．f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

y x 1 -1 1 -13．f(x) = x²

1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x₁<x₂时，总有f(x₁)<f(x₂) ． 2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 1 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂； 2 作差f(x₁)－f(x₂)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P₃₄例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P₃₈练习第1、2题例2．（教材P₃₄例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习： 1 课本P₃₈练习第3题； 2 证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x² +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象． 1 这个函数的定义域是什么？ 2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论四、作业布置 1．书面作业：课本P₄₅ 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)， 1 求f(0)、f(1)的值； 2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

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